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M. Hilbert obtient (A) malgré qu’il fit 
y = r et u = G 
parce qu’il considère des équations identiques à leur adjointe. 
L (i u ) = M O) 
Les définitions données semblent donc être celles qui 
établissent exactement la généralisation de la théorie de 
M. Hilbert. Les définitions que Bôcher a données, corres¬ 
pondent au changement de X en —X dans 1 équation de 
On voit encore aisément que la fonction y qui satisfait à 
l’équation 
A (y) X y = o 
et aux conditions aux limites qui ont défini G(æ,s), e st donnée 
par la résolution de l’équation intégrale homogène-: 
y (s) — X r G (s, x) y (x) clx = o 
De même la solution du problème bilocal pour 1 équation 
L (; y ) = —r (x) 
est donnée par la relation 
y (x) = r Ct (x, s) r (s) ds 
C’est cette relation qui justifie le nom de fonction de Green 
donnée à G(x,s), nom qui primitivement était reserve a cer¬ 
taines solutions des équations aux dérivées partielles du second 
En prenant les définitions de Bôcher, on serait arrivé aux 
résultats suivants : 
pour la solution de L (y) -f- X y = o : 
y (s) + X F G (s, x)y (x) dx = o 
pour la solution de L(y)= v(x). 
y(x) = — f b G(x, s) r (s) d s 
f) a 
1 Cela est général. Comparez avec Lalesco : Introduction à la theone de .s 
équations intégrales. . .. f i e 
2 On fait dans la formule de Green, u = y (a?), solution contm 
L {y) H X y = o, v = H(x,s). 
