1 
298 
schneidungen der Längs- und Querreihen der materiellen Punkte 
nicht starr sind, sondern die Winkel spitz werden können. 
Können sich die Winkel nicht ändern, so wird unter verschiedenen 
Umständen aus dem Cylinder ein Kegel werden. Es hängt dies von dem 
Yerhältniss des Wachsthums der sich rechtwinkelig durchschneidenden 
materiellen Punktreihen und deren Krümmungsfähigkeit ab. Die 
logarithmische Spirale beispielsweise, deren orthogonale Trajectorien 
selbst wieder logarithmische Spiralen sind, kann nur zu Stande kom¬ 
men, wenn die beiderlei Puiiktreihen sich so krümmen können, dass 
sich ihre Concavität dem sich verbreiternden Bandende, also der 
Basis des entstehenden Rotationskegels zukehrt, und wenn die 
Steigungswinkel der beiden Punktreihen, welche sich zu einem 
Rechten ergänzen, überall die nämlichen bleiben. 
Die archimedische Spirale mit hyperbolisch spiraligen orthogonalen 
Trajectorien wird unter Entstehung eines Kegels nur dann zu Stande 
kommen, wenn das Wachsthum der sich rechtwinkelig schneidenden 
Punktreihen ein solches Yerhältniss annimmt, dass die letzteren in 
der Richtung der Mantellinien nicht auseinanderweichen. Dies ge¬ 
schieht unter abnehmendem Steigungswinkel des stärker sich ver¬ 
breiternden Bandtheiles, wobei sowohl die Spirale als ihre orthogonalen 
Trajectorien sich nach dem breiteren Bandende und der Basis des 
Kegels zu convex krümmen müssen. 
Die hyperbolische Spirale entsteht, indem das breitere Bandende 
im Yerhältniss zu dem geodätischen Bande von gleichem Ränder¬ 
winkel seinen Steigungswinkel vermindert. Die orthogonalen Trajec¬ 
torien sind arcliimedische Spiralen. Die beiderlei Punktreihen krümmen 
sich convex gegen die Basis des entstehenden Kegels. Beliebige 
andere Gestalten als cylindrische und kegelförmige können entstehen, 
wenn unter bestimniten ungleichmässigen Wachsthumsverhältnissen 
Krümmungen des Bandes senkrecht .zur Fläche nach mehr als einer 
Richtung möglich sind. 
Ich bin bisher vom Cylinder als Ursprungsform aller Umbildungen 
durch das Längen- und Breitenwachsthum des Spiralbandes ausge¬ 
gangen. Thatsächlich ist aber die Ausgangsgestalt des Halmes an¬ 
nähernd ein aufrechter Kegel gewesen, dessen Mantel ebenfalls von 
einem ungleichbreiten Spiralbande gebildet war. Zuerst musste also 
der umgekehrte Yorgang, wde er anfangs erörtert wurde, eintreten. 
Aus dem Kegel wurde ein Cylinder. Ich verzichte aber darauf, in 
die Besprechung dieses Yorganges einzutreten, da derselbe keine 
neuen geometrischen Momente bieten würde. 
