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De ces quinze égalités primordiales on peut, par 
de simples transformations de calcul, en tirer quan¬ 
tité d’autres concernant aussi bien les triangles quel¬ 
conques que les triangles rectangles. Bornons-nous à 
rappeler les expressions des angles en fonction des 
côtés et réciproquement, les formules de Delambre- 
Gauss, les analogies de Néper et les dix relations 
obtenues en faisant dans les précitées A = 90°. 
En introduisant dans ces diverses expressions le 
rayon R d’une sphère, rayon qui n’est pas égal à 
l’unité, on est conduit à de nouvelles égalités qui 
fournissent celles de la trigonométrie rectiligne, si 
l’on a soin d’y faire R = oo . 
Soient deux sphères concentriques ayant respecti¬ 
vement pour rayons 1 et R. Tout angle trièdre ayant 
son sommet au centre commun de ces sphères ren¬ 
contrera leurs surfaces suivant deux triangles dont 
les angles seront égaux et les côtés en relations 
faciles à obtenir. On sait, en effet, que les arcs sem¬ 
blables sont entre eux comme leurs rayons. Il en 
résulte immédiatement que l’on aura, dans le cas 
considéré, la suite de rapports égaux : 
a b __ c 1 
a' ~ b’ c'- R 
a, b, c désignant les longueurs des côtés du trian¬ 
gle fait sur la surface de la sphère de rayon unité, et 
a', b\ c ' étant les éléments correspondants de l’autre 
triangle. On pourra donc écrire : 
a f , b' c ' 
a ~W b ~ÏÏ’ C ~R 
