Zur Theorie der Mittelwerte. 
Von Dr. Wilhelm Lorey in Görlitz. 
Seit jeher, wo man in irgend einer Wissenschaft durch quanti¬ 
tative Beobachtung den Wert einer Grösse zu bestimmen suchte, 
hat man das „Mittel“ schlechthin der beobachteten Grössen gebildet 
und versteht namentlich in den biologischen Zweigen der Natur¬ 
wissenschaft darunter den Ausdruck 
XI -j- X2 -j- • • » X n 
wo xi (i=l, 2, n) die beobachteten Werte bedeuten. 
Unabhängig von Anwendungen auf die Messungen treten 
aber schon sehr früh bei den Mathematikern andere Mittelwerte 
auf, allerdings dann auf zwei Grössen beschränkt, nämlich das 
geometrische und das harmonische Mittel. Das geometrische Mittel g 
ergibt sich durch planmässiges Aufsteigen zu den höheren Rechnungs¬ 
stufen aus dem arithmetischen Mittel 
XI +X 2 
a | 2 - ’ 
indem an Stelle der Addition die Multiplikation und an Stelle der 
Division das Radizieren tritt; es ist 
g = VXl . X2. 
Das harmonische Mittel h ist durch die Gleichung definiert: 
1 __ 1/1 , 1 \ ,1 1 1 1 
h 2\x 1 +x 2 ) xi h h X 2 
Diese letzte Form der Definitionsgleichung lässt deutlicher hervor¬ 
treten, warum man auch von einer stetigen harmonischen Pro¬ 
portion redet. Ganz entsprechend lassen sich die stetigen arith¬ 
metischen und geometrischen Proportionen definieren durch 
xi — a = a -— X 2 und xi : g = g : X 2 . 
Die Kenntnis dieser drei Mittel geht auf die Pythagoräer 
zurück. 1 ) Der Pythagoräer Archytas z. B. definiert das arithmetische 
oder auch 
l ) Yergl. Cantor, Geschichte der Mathematik I 2 S. 155. 
