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und geometrische Mittel in der noch heute üblichen Weise; seine 
schwerfällige Definition des harmonischen Mittels heisst in unsere 
moderne mathematische Sprache übersetzt: 
_ i | -^1 i | ^2 
xi = h -4-; h = X 2 H-. 
n 1 2 n 
Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen die willkürliche Zahl n, 
so folgt in der Tat: 
, 2 xi x 2 
h ==-j- 
Der Name „arithmetisches Mittel“ erklärt sich durch die Tat¬ 
sache, dass zu seiner Bildung die einfachen arithmetischen Operationen 
gebraucht werden. Die Flächen und Körpermasse, also geometrische 
Begriffe, führten zu dem geometrischen Mittel. 1 ) 
Die Bezeichnung „harmonisches Mittel“ kommt nach dem 
Pythagoräer Philolaus vom Würfel her, den man geometrische 
Harmonie genannt habe, weil alle seine Abmessungen im Einklang 
mit einander stehen. Nun hat der Würfel 6 Flächen, 8 Ecken und 
12 Kanten; es ist aber 
Bei den anderen regelmässigen Körpern, bei denen auch „die Ab¬ 
messungen im Einklang mit einander stehen“, gelten derartige Be¬ 
ziehungen nicht, mit Ausnahme des zum Würfel reziproken Achtflachs. 
Nach einer anderen Erklärung ist der Name „harmonisches 
Mittel“ musikalisch begründet. Es ergeben sich nämlich harmonische 
Töne, wenn von einer gespannten Seite die Teile xi, h, x 2 . ertönen 
-r» i i 4 2 
z. B. xi = 1, h — — , x 2 —— 
d. h. Prim, Terz, Quinte. 
Zwischen diesen drei Mitteln besteht nun eine Ungleichung, 
die im Altertum auch bekannt war. Es ist nämlich 
h < g < a. 
Der Beweis, dass das geometrische Mittel kleiner ist als das 
arithmetische, folgt einfach aus der bekannten Konstruktion der 
beiden Mittel. Ebenso folgt dann aus der Konstruktion des 
harmonischen Mittels als dritte Proportionale auf Grund der 
1 ) Yergl. Cantor, S. 153. 
2 ) Cantor S. 154, 
