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während Gleichung (2) aus der Form 
h n === h n __ i. ~ r - 
hn_i 
a n _! 
sofort erkennen lässt, dass h n >► h n _i ist. 
Die arithmetischen Mittel bilden also eine obere abnehmende, 
die harmonischen Mittel dagegen eine untere wachsende Grenze für 
l^E,. Es ist weiter auch nicht schwer zu zeigen, dass 
lim h n = lim a n = VR ist. 
n=00 n=GO 
Die praktische Convergenz des Verfahrens hängt natürlich von 
der Wahl der Anfangsfaktoren ab. So erhalten wir z.B aus 
sofort 
136 
33 
<^<T 
<1. h 4,124 < rj.7 < 4,125. 
dagegen folgt aus 
17 = 1.17 
^<Vl8<9 
Theoretisch ist das Verfahren interessant, weil es die zu be¬ 
stimmende Grösse in Grenzen einschliesst. Dass es gerade deswegen 
auch methodisch wichtig für die Schule ist, habe ich an einer anderen 
Stelle schon betont. 1 ) Ob wirklich im Altertum, wie Meyer 2 ) ver¬ 
mutet, nach jenem Verfahren die Quadratwurzel bestimmt wurde, 
vermag ich nicht zu sagen. Die Frage, wie die Alten, insbesondere 
Archimedes, die so engen Grenzen für die Quadratwurzel bestimmt haben, 
ist auch nach der 2. Auflage von Cantors Geschichte der Arith¬ 
metik noch nicht geklärt. S. Günther 3 ) erwähnt in seiner grossen 
Arbeit jenes Verfahren nicht. Auch bei Cantor ist über diesen 
Prozess des arithmetisch-harmonischen Mittels nichts zu finden. 
p Vergl. meinen Aufsatz: Die Mathemathik und das klassische Altertum. 
Zeitschrift für Gymnasialwesen 1903. S. 818. 
2 ) Friedrich Meyer, Elemente der Arithmetik und Algebra. Halle 1895. S. 75. 
3 ) Antike Näherungsmethoden im Lichte der modernen Mathematik. Ab¬ 
handlungen der böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. 6. Folge. 
Band 9. 1878. 
