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Ebenso versagt hier auch die Enc 3 r clopädie der Mathematischen 
Wissenschaften. Ich habe das Verfahren überhaupt bis jetzt nur 
in dem trefflichen Lehrbuch der Arithmetik von F. Meyer kurz 
angedeutet gefunden, wo es das Verfahren zur Bestimmung der 
Quadratwurzel nach „Alexeefif“ genannt wird, ohne dass ein genaueres 
Zitat angegeben wird. Dass im Prinzip wenigstens im Altertum 
solche unendliche Mittelwertalgorithmen Vorkommen, habe ich an 
einer anderen Stelle gezeigt. 1 ) Die bekannte Lösung des delischen 
Problems der Verdopplung des Würfels durch Einführung zweier 
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mittleren Proportionalen deckt sich mit der Bestimmung von V 2 
durch den unendlichen Prozess des geometrischen Mittels, dessen 
Algorithmus in der Form x n = Vx n —1 . x n _2 dargestellt werden kann. 
Das geometrisch-harmonische Mittel, dessen Algorithmus also 
definiert ist durch die Gleichungen: 
hn = 2. j| n 1 | ^ n —•; gn == rh n _i. g n _!, 
n n-l ~r gn —1 
tritt im 17. Jahrhundert bei Gregory auf zur Berechnung des Kreis¬ 
inhaltes und findet sich in älteren guten Lehrbüchern angegeben. 
Interessant ist es, dass es auch in dem von F. Klein kürzlich 
veröffentlichen wissenschaftlichen Tagebuch von Gauss erwähnt 
wird. 2 ) Am 3. Juni 1800 hat Gauss in Braunschweig die Eintragung 
gemacht: Inter duos numeros datos semper dantur infinite multi 
termini medii tum arithmetico-geometrici, tum harmonico- 
geometrici, quorum nexum mutuum ex asse perspiciendi felicitas 
nobis est facta. 
Gauss hatte damals schon tiefgehende Forschungen über das 
arithmetisch-geometrische Mittel mit dem Algorithmus 
a n — 1 "j“ gn - 1 j i/- 
a n =j.: -- tmd g n =fa n _i . g n -i 
angestellt, die ihn zu den elliptischen Funktionen führten. Seine 
Untersuchungen wurden von Borchard 3 ) auf mehr als zwei Grössen 
ausgedehnt. 
x ) Lorey: "Über das geometrische Mittel, insbesondere über eine dadurch 
bewirkte Annäherung kubischer Irrationalitäten. Diss. Halle 1901. S. 14 ff. 
und wissensch. Beilage zum Jahresbericht des Realgymnasium Remscheid 1901. 
2 ) Math. Annalen 57. S. 25. 
3 ) Monatsbericht der Berliner Akademie 1876. Abhandlungen der Berl. 
Akademie 1878. 
