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Ich habe mir nun die Aufgabe gestellt, den Prozess des arith¬ 
metisch-harmonischen Mittels auf mehr als zwei positive reelle Grössen 
auszudehnen und daraus insbesondere ein entsprechendes Verfahren 
zur Berechnung der Kubikwurzel zu entwickeln. 1 ) Das arithmetische, 
geometrische und harmonische Mittel lassen sich naturgemäss durch 
folgende Definitionsgleichungen erweitern: 
a== ^( xi + x -+ • • • Xn ); 
n 
g = Vx 1 . X 2 . X3 . . . X n 
AJA AA 
h n \xi X 2 x n 7 
Um nun einen Algorithmus zur Berechnung der Wurzel zu 
entwickeln, müssen wir noch n — 2 andere Mittelwerte einführen. 
Unter einem Mittelwerte der n Grössen 11 X 2 ... x n sei eine ein¬ 
deutige symmetrische Punktion 
M (xi x 2 . . . x n ) 
verstanden, die der Bedingung genügt: 
M(xi, X 2 . . . x n ) = x für xi=X 2 = x n = x 
Selbstversändlich ist die beim geometrischen Mittel auftretende 
nte Wurzel als eindeutig erklärt. 
Diese allgemeine Definition der Mittelwerte stimmt mit der 
Definition überein, wie sie bei de Morgan 2 ) und Ferrero 3 ) ge¬ 
braucht wird. Es folgt insbesondere daraus, dass die Funktion M 
die erste Dimension haben muss, was gerade auch für den vor¬ 
liegenden Zweck sehr wesentlich ist. 
Zur genaueren Bestimmung der einzuführenden Mittelwerte 
gehen wir nun von der bei zwei Grössen gültigen Beziehung 
g 2 = ah 
aus, die wir schon erwähnt haben. 
Unter Beschränkung zunächst auf 3 Grössen xi, X 2 , X 3 setzen wir 
g 3 — a h f 
p Im vergangenen Winter in der mathematisch-astronomischen Sektion 
der Naturforschenden Gesellschaft zu Görlitz vorgetragen. 
2 ) Cambridge Transaktion X. 1864. 
3 ) Expositione del methodo dei minimi quadrati. Firenze 1878. 
Beide Arbeiten waren mir nicht zugänglich. Ich führe sie an nach 
Czuber, Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie, Jahresbericht der deutschen 
Math. Vereinigung 7. 1899. 
