59 
und erhalten daher 
^_ Xi X2 -f- X2 X3 -f- X3 Xl 
Xl X2 -f- X3 ’ 
oder, wenn wir die im Zähler stehende symmetrische Grundfunktion 
mit o bezeichnen, 
1 
a 
Zwischen dem harmonischen, geometrischen und arithmetischen 
Mittel besteht auch bei drei Grössen eine Ungleichung, wie bei 
zwei Grössen; es ist nämlich 
h < g < a. 
Dass g < a ist, folgt aus dem allgemeinen und wiederholt be¬ 
wiesenen Satze, dass für beliebig viele positive Grössen das geometrische 
Mittel stets kleiner ist, als das arithmetische. Um den ersten Teil 
der Ungleichung als richtig nachzuweisen, nehmen wir an es sei 
hig 
d.h.^-Ig 
3~ a 
und daher 
g 2 ^ “ß-(xi X2 + X 2 X 3 + x 3 Xl). 
Setzen wir nun xiX 2 = Z 3 , X 2 X 3 = zi, X 3 Xi=Z 2 , so wird 
3 _ 
g 2 = V ZI Z2 Z3 1 
und wir erhielten also 
3 _ 
V'zi Z2 Z3 (Z3 —Zl —(— Z 2 ) 
was nach dem oben angeführten allgemeinen Satze unmöglich ist. 
Der Mittelwert f schwankt im Vergleich zu g, wie folgendes 
Beispiel zeigt. Es sei 
3 3_ 
g = Vs = Vxi . X 2 . X 3 . 
17 
Für xi = 1 X 2 ===. 1 X 3 = 8 , ist f = — < g 
14 
» *1 — 1 X 2 = 2 X 3 =4 „ f=y = g 
1 q 8 p 41 
n xi = l x 2 = 3 X3=-g „ f = 2 ^>g. 
