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von z und z\ nach x und y , bezw. nach x\ und y±, a ist eine Konstante. 
Die erste Gleichung sagt aus, dass zu jedem Punkte P(x, y , z) der 
gegebenen Fläche ein anderer Pi (xi, y\, z\) auf der transformierten ge¬ 
hört, der von ihm die konstante Entfernung a besitzt. Aus der zweiten 
und dritten ersieht man, dass Pi auf der zu P gehörigen Tangential¬ 
ebene der ursprünglichen Fläche und ebenso P auf der zu Pi ge¬ 
hörigen Tangentialebene der transformierten Fläche liegt. Die vierte 
endlich ist die Bedingung dafür, dass die entsprechenden Tangential¬ 
ebenen senkrecht aufeinander stehen. 
Die angegebenen Gleichungen der Transformation lassen ferner 
unmittelbar erkennen, dass den oo 2 Flächenelementen der gegebenen 
Fläche oo 3 neue entsprechen, da ja zur Bestimmung der fünf Grössen 
05i, t/i, pi, qi nur vier Gleichungen vorhanden sind. Lie zeigt in 
der genannten Abhandlung, dass die vorgelegte Fläche notwendig 
die konstante negative Krümmung —1 : a 2 besitzen muss, wenn sich 
diese oo 3 transformierten Flächenelemente in eine Schar von oo 1 
Flächen anordnen lassen sollen. 
Kurz darauf veröffentlichte Lie eine zweite Arbeit, 1 ) in der 
er die Bianchische Konstruktion auf einen Flächenstreifen an¬ 
wendet. Hierunter versteht Lie das Gebilde, welches aus einer 
Kurve und einer kontinuierlichen Schar von Tangentialebenen 
besteht. So stellt z. B. jede Flächenkurve mit der Schar der zu¬ 
gehörigen Tangentialebenen der Fläche einen Flächenstreifen dar. 
Nach den Transformationsgleichungen ist es klar, dass man aus 
jedem Streifen mit Hilfe der Bianchischen Konstruktion oo 1 neue 
Streifen gewinnen kann. Lie geht im Besonderen von einem 
solchen Flächenstreifen aus, bei dem die Tangentialebenen 
Schmiegungsebenen der Kurve sind, und beweist, dass die analoge 
Beziehung dann und nur dann auch bei den transformierten 
Flächenstreifen gilt, wenn die ursprünglich gegebene Kurve kon¬ 
stante Torsion besitzt. Ferner zeigt er, dass in diesem Falle die 
transformierten Kurven dieselbe konstante Torsion haben, und dass 
das Bogenelement invariant bleibt. 
Eine sehr wesentliche Verallgemeinerung hat die Bianchische 
Transformation später durch Bäcklund 2 ) erfahren. Während 
nämlich Bianchi verlangt, dass die Tangentialebenen entsprechender 
x ) S. Lie, Archiv for Math, og Naturv., Band V, Heft 3, S. 328 ff., 
Kristiania 1880. 
2 ) A. V. Bäcklund, Om vtor med konstant negativ krökning, Lund 1883. 
