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Die zweite Gleichung liefert daher bei der Ausrechnung die Bedingung: 
svnfx 
i oder: 
VIII 
P = + ; 
Soll also die Transformation in der verlangten Weise aus¬ 
führbar sein, so muss p den eben berechneten konstanten Wert 
haben. Diese eine Bedingung ist aber auch hinreichend. Denn 
setzt man in der Gleichung IV: 
_ tz _, a 
^ 2 1 ^ — sin x’ 
so wird in der Tat coscp 1 0, d. h. die Ebenen der transformierten 
Flächenstreifen sind ebenfalls Schmiegungsebenen. 
Den für p gefundenen Wert substituieren wir nun in der 
Gleichung (12) und bilden darauf die cyklische Summe. So er¬ 
halten wir eine zweite Relation: 
(£) a =‘ 
Wir ordnen natürlich einem positiven Kurvenelement ds ein positives 
dsi zu und setzen somit 1 ): 
IX _ , 1 
ds~ " r 
Entsprechende Bogenlängen der Kurven sind also einander gleich. 
9i ist jetzt auf Grund von III in folgender Weise bestimmt: 
a 
cos 9 1 = cos 9-, sin^i ■ 
sin 9- 
p sm x 
Wird p — -f- g : sin x gesetzt, so folgt für 9i entsprechend 2 ): 
X 9i = + 9- 
Es mögen nunmehr die Werte von pi und ri berechnet werden. 
Da cp und cpi hier konstante Grössen sind, so liefert uns die Gleichung 
VII mit Berücksichtigung von IX 1 ): 
XI pi == p 
Wir können daher den schon von Bäcklund gefundenen Satz aus¬ 
sprechen: Führt man die Bäcklund sehe Transformation auf einen 
x ) A. V. Bäcklund, Om ytor med ...., Lund 1883, 
2 ) Für den Fall x = 
Band V, Heft 3, S. 328 ff. 
2 ) Für den Fall y;;±= s. S. Lie, Archiv for M. og. N. Kristiania 1880, 
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