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COS X SIU“X . . 
- \- sm x • cp — 
a 
a sin x • cp" =0 
cos x a • cp' 2 
a 2 cp ' 3 
sinx 
= 0 
cp ^ . 
a cos x cp' ~j-- T -1- sin x -|- a cos x cp' r= 0 , 
stn x j 
und eine einfache Rechnung zeigt, dass unsere Forderung auf die 
Erfüllung der einzigen Gleichung hinauskommt: 
XYI tp' = — (1 + smx) 
Der imaginäre Kreis mit dem Radius + und die Gerade 
sind also die einzigen Kurven, welche die verlangte Transformation 
gestatten. 
Kapitel III. 
Die Bäcklundsche Transformation angewendet 
auf Flächen. 
Der Zusammenhang zwischen der Transformation von Flächen¬ 
streifen und Flächen besteht darin, dass jede Flächenkurve einen 
ganz bestimmten Flächenstreifen definiert, dessen einzelne Elemente 
sich aus den Punkten der Kurve und den zugehörigen Tangential¬ 
ebenen der Fläche zusammensetzen, und dass man jede Fläche auf 
unendlich viele Arten als eine einfach unendliche Schar solcher 
Flächenstreifen auffassen kann. 
Greifen wir nun eine solche Schar beliebig heraus und wenden 
auf jeden ihrer Streifen die Bäcklundsche Transformation an, so 
erhalten wir nach den Auseinandersetzungen in Kapitel II eine 
zweifach unendliche Schar von Streifen. Bei der Bäcklund sehen 
Flächentransformation wird jetzt verlangt, diese oo 2 Streifen in eine 
Schar von oo 1 Flächen in der Weise anzuordnen, dass jene Be¬ 
ziehungen nicht blos hinsichtlich der Streifen unserer Schar gelten, 
sondern dass einem ganz beliebigen Streifen der vorgelegten Fläche 
ein solcher auf jeder der oo 1 neuen Flächen entspricht. 
Zu der Bedingung, der die gegebene Fläche dann genügen 
muss, gelangen wir auf folgendem Wege. Wir konstruieren zu 
einer ganz beliebigen Flächenkurve die unendlich benachbarte 
geodätische Parallele und stellen die Forderung, dass die beiden 
