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cot 
cos cp 
sin 9’ , sin cp ' cot x cos 9 cos cp 
a ' v r 
(19) — cot x sin 9 ( J- cp')^ sin 9 x’ -f- x sin 9 tg cp • cp'j -)- 
[ 2 4 - ?') ( — 4 — 9 ") + k] 
x sin 9 
9 _ 
P • - - p 2 
Ferner erhält man unter Benutzung der früheren Gleichungen: 
1 9o?9 _cos9 
ds a 
cos 9 1 
-cotxcos 9(— 
a p 
cot x sin 9r 
cos cp 
■(<4 ^+ 4 ]- 
k- wr-^m 
, r sm9coscpr cos9 , /1 co£xsm9v/\1 INO T -\l 
-coGx-U - cotxcos 9 (- cp') -1 (- cp') 2 +X I 
1 r L a P cos cp V p 1 /J 
(20) — «os «• Zf# © + y if- <?" 
4 
co£x jcos9(-^— cp') 
.,„ ( i^ r+ iaps]j . 
(4 T ' ,,+i # 
cos9 ; „ . 1 . cotxsm&xf, 1 
COtx COSü' (— cp ) -r- - 
ci p ‘ cos 
+ sin 9 
rXr + AT 
! Kxsin® • cp' 
i rsmep-cp' 
L cos cp 
COS 2 Cp 
cos 2 cp 
CO^cp p 
(y-V) 2 + 
p<p . ) __ 2 .L ( .i_ ( p. )( p; +? . 0+ Ä]} + 
v - ■ rp v ‘ ; cos cp v p 1 p 2 1 T 1 r V 
, smcp rsm9 . smcp cotxcös&cosv , . a / 1 ,.1 
H- L -- L — — — 1 — eotxsinwt -cp') 
1 r L a 1 r r v p ‘ J 
Setzt man diese beiden Ausdrücke einander gleich, so erhält 
man als die gesuchte Bedingung das elegante Resultat, das die 
vorgelegte Fläche die konstante negative Krümmung 1 ) 
XXIII K=- Sin * x 
a 2 
besitzen muss. Diese Bedingung ist in der Tat unabhängig von 
der Auswahl der Streifen auf der Fläche, also ist sie auch 
hinreichend. Aus ihr lässt sich sofort entnehmen, dass auch 
die transformierten Flächen die konstante negative Krümmung 
K — — sin 2 x:a 2 besitzen müssen. Denn durch Anwendung der 
Bäcklund sehen Transformation kann man von jeder der trans¬ 
formierten Flächen wieder zur ursprünglichen Fläche zurückgelangen. 
Das besagt aber, dass zwei ganz beliebige unendlich benachbarte 
1 ) A. Y. Bäcklund, Om ytor med konstant negativ krökning, Lund 
1883, S. 10. 
