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geodätische Parallelen der transformierten Fläche in zwei unendlich 
benachbarte Kurven auf der ursprünglichen Fläche übergehen. 
Folglich muss auch jede der transformierten Flächen der für die 
ursprüngliche Fläche abgeleiteten Bedingung unterworfen sein, 
d. h. sie muss ebenfalls die konstante negative Krümmung 
K == — sin 2 x : a 2 besitzen. 
Nach Lie könnten wir den Beweis auch so führen. Die 
Asymptotenlinien auf der ursprünglichen Fläche haben bekanntlich 
die Torsion -\- sin x : a und — sin x : a. Aus unsern früheren Sätzen 
folgt daher, dass auch die transformierten Flächen eine Schar von 
oo 1 Kurven mit der konstanten Torsion -\- sin x : a und — sin x : a 
besitzen müssen, deren Schmiegungsebenen gleichfalls mit den 
Tangentialebenen der Fläche zusammenfallen. Das besagt aber, 
dass auch die transformierten 1 ) Flächen dasselbe konstante negative 
Krümmungsmass — sin 2 '/.:a 2 haben wie die vorgelegte Fläche, und 
dass die Asymptotenlinien 2 ) einander entsprechen. 
Diese letzte Eigenschaft kommt übrigens auch den Krümmungs¬ 
linien zu. 3 ) Um dies zu beweisen, stützen wir uns mit Bäcklund 
auf den Satz, dass auf einer pseudosphärischen Fläche die Gegen¬ 
seiten in einem von vier Haupttangentenkurven gebildeten Viereck 
einander gleich sind. Ein unendlich kleines Viereck dieser Art, in dem 
ausserdem zwei zusammenstossende Seiten dieselbe Länge haben, 
können wir daher als Rhombus auffassen. Die beiden Diagonalen 
eines solchen Vierecks halbieren mithin dieWinkel der Haupttangenten¬ 
kurven, sind also Elemente von Krümmungslinien.. Da nun allen diesen 
unendlich kleinen Rhomben auf der gegebenen Fläche ebensolche auf 
den transformierten Flächen entsprechen, so entsprechen sich auch 
ihre unendlich kleinen Diagonalen, also auch die Krümmungslinien. 
Als weitere Eigenschaft unserer Transformation erkennt man 
nach früheren Auseinandersetzungen die, dass entsprechende Stücke 
der Haupttangentenkurven einander gleich sind. 4 ) 
Andererseits folgt aus dem § 2 in Kapitel III, dass es auf 
der ursprünglichen Fläche kein System von geodätischen Linien gibt, 
dem auf den transformierten Flächen ein ebensolches entspricht. 
J ) A. Y. Bäcklund, Om ytor med konstant negativ krökning, Lund 
1883, S. 10. 
2) Ebenda, S. 24. 
3 ) Ebenda, S. 25. 
4 ) Ebenda, S. 24. 
