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das als Faktor von p , a und ßr— -\q auftritt, mit Hilfe von (22) 
bedeutend vereinfachen. Durch Quadrieren von (22) erhält man 
nämlich: 
, o ^ _ 2 tqbacos® , a 2 cos 2 ® a 2 tq 2 & ,1 fNO 
tg~ 9 + — —: 1 H- - 9 — • 9 = .4— (- cp y 
^ i £ X V" om & v cm 4 v n 4 7 
und hieraus: 
sin 9 r 
COS cp 
/ 1 , 2 x\_cos 2 9 r sin 2 x / 5 
v p ^ a 2 / sm 9 cos cp o 2 V 
2 ft/9 a cos cp ci 2 cos 2 cp' 
r sm x 
r sin 
9S 2 Cp\ 
m 2 x/ ’ 
2 sin x cos 9- , cos 2 9- cos co 
Also wird: 
0 .1 . sin 9 r/,1 , v 
cos 9 (— cp )+ - 1 ( —cp 
p cos cp \ p 
Da man nun schreiben kann: 
a , 1 , t cos ^ cos cp sm x cos 2 b (ata & ,1 
COS 9--cp') H-7-^- =-Q (-cp') 
p 1 r sm 9 asm 9 Vsmx p 
so ist auf Grund von ( 22 ): 
a .1 , , , cos 9 cos cp . sin x cos 9 
cos9 (- cp) 4- - —. .. ‘ = ± — 
' p xsmw a 
Daher findet man endlich: 
r sin 9 
2smxcos9 cos $ cos® 
-+- 
rsm9 
acos cp 
r sm 
9 . 
cos 9 ( 
1 
i) + 
■(<1 
- ®') 2 
P 
8 m 2 x\ _ 
a 2 ) “ 
sin x cos 9 
a 
Mithin nimmt die Gleichung (22 f ) die einfache Form an: 
-y q) cos 9 f ---- 5 i cos x cos 9^1 t psinxcos 9 
V cos 9 / ^ 
^ = ( ^ r - 
— asm 9 
(- 
cos 9 + cos x cos 9 
woraus sich durch Quadrieren und Bildung der cyklischen Summe 
ergibt: 
XX1T 20 2 =(|) 2 =i = o~< 
Hiermit haben wir bewiesen, dass unsere Forderung durch 
die einzige Gleichung (22) wiedergegeben wird. Soll also die 
Kurve mit ihrer unendlich benachbarten geodätischen Parallelen 
bei allen o © 1 Transformationen so transformiert werden, dass die 
beiden transformierten Kurven wieder geodätisch parallel sind, so 
muss in jedem Punkte der ursprünglichen Kurve eine der beiden 
folgenden Gleichungen identisch erfüllt sein: 
