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XXV 
tgb — 
tg !l = 
a COS Cp 
a cos cp 
sin x 
v l«(? i - ?) + sin *\ 
Nun ist die Unendlichdeutigkeit der Bäcklund sehen Transformation 
dadurch gekennzeichnet, dass & in ein und demselben Punkte oo 1 
verschiedene Werte annehmen kann. Da andererseits cp, r, p und cp' 
für einen Kurvenpunkt konstante Grössen sind, so können die 
Gleichungen XXV nur dann Identitäten sein, wenn ihre rechte 
Seite die unbestimmte Form 0:0 annimmt. Es muss daher in 
jedem Kurvenpunkte entweder 
XXVI 
oder 
XXVI 
cos cp =E=- sm x = 0 
? 
cos cp —-f- sin xHr 0 
P 
sein, d. h. die Kurve muss eine Haupttangentenkurve der Fläche sein. 
Kapitel IV. 
Versuch einer Verallgemeinerung der Bäcklundschen 
Transformation. 
§ i- 
Bei den bis jetzt angestellten Untersuchungen haben wir 
stets die Voraussetzung gemacht, dass die Entfernung a zweier 
einander entsprechender Punkte und der Winkel x zwischen je 
zwei entsprechenden Ebenen konstante Grössen sind. Es drängt 
sich uns die Frage auf, ob die Bäcklund sehe Transformation 
nicht noch einer Verallgemeinerung fähig ist, und worin diese 
möglichen Falls besteht. Eine Erweiterung der Transformation 
ist offenbar auf drei Arten denkbar. Man kann nämlich entweder 
nur eine von den Grössen a und x variieren oder beide als Ver¬ 
änderliche auffassen. In allen drei Fällen aber büsst die Bäcklund- 
sche Transformation in anderer Hinsicht einen Teil ihres allgemeinen 
Charakters ein. Während sie nämlich bei konstantem a und x für 
jeden Punkt des Raumes definiert ist, erscheint sie jetzt zunächst 
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