DANS LE CAS D UNE LOI QUELCONQUE D’ATTRACTION. 
v* 
D 
On aura 
<p(ît) cp(<î ■+- v) 
u k (<r -+- v) k ’ 
k étant un nombre entier, et, en développant par la formule de Taylor et le 
binôme de Newton : 
(2) 
<p(w) 
U 
■][• 
k.k + \ v i /<i+ll+2t) ! 
1.2 c ? 2 
1.2.3 
Le second membre de celte équation contient deux séries, convergentes 
toutes les deux quand < 1 (*). Dans le cas actuel, nous n’aurons à 
considérer l’attraction du système matériel qu’à des distances $ d’un point 
central intérieur égales à plusieurs fois le plus grand rayon R du système 
compté à partir de ce point; or il est clair qu’on a toujours ± v < R; 
la condition de convergence < 1 sera donc toujours remplie. 
Cela posé, on sait que 
V o Ui u 2 . 
V u V, V 2 . 
étant deux séries convergentes, et qui restent convergentes quand on y rem¬ 
place les termes par leurs valeurs absolues, la série résultant de leur multi¬ 
plication et dont le terme général est u 0 v n -f- u l v n _ 1 + ^«- 2 +•••• •+ K v o> 
est également convergente. (Serret, Calcul différentiel et intégral, tome I, 
p. 151.) 
En appliquant ce théorème au second membre de l’équation (2), on trouve 
aisément 
u n & 
v n 
w 
'1 \ 
dz/c./c-t- 1... k-hn — 1 qp .k.k + \...k-h)i— 2±-~ 
J" â n ~' i 
, + 9" (J) 
3 
? n ~V) n 
~.k-v(D n U) 
rj 1 ' V 
série convergente quand (i ]< 1 n 
(*) Voir le Théorème de Cauchy. 
(**) On arrive exactement au même résultat en posant directement ^ ÿ (u) et développant 
par la formule de Taylor, mais les calculs sont beaucoup plus longs. C’est M. Catalan qui m a 
indiqué le procédé plus simple et plus élégant suivi dans le texte. 
