— 184 — 
Eks. 1-2 = 2; 2 -)— 1 = 3 primtal. 
„ 1.2 • 3 = 6; 6 —1 = 7 primtal. 
„ 1 • 2 • 3 • 5 = 30; |30 -f- 1 = 31 primtal. 
„ 1.23-5-7 = 210; 210 + 1 = 211 primtal. 
„ 1-2.3.5-7.11 = 2310; 2310 + 1 = 2311 primtal 
„ 1.2-3-5.7.11.13 = 30030; 30030 + 1 = 59-509! 
Av disse eksempler fremgaar at tallet N + 1 som man 
paa denne maate faar ikke altid er et primtal! Dette 
synes Euklid ikke at ha været opmerksom paa, i al fald findes 
det ikke omtalt i hans bok. Men hans bevis er likefuldt 
gyldig. Ti selv om tallet N + 1, som i sidste eksempel oven¬ 
for er vist, ikke er et primtal, saa er dog dets enkelte faktorer 
større end alle nedenfor liggende faktorer. 59 og 509 er 
jo begge større end 13! 
Spørsmaalet om tallene N-f 1 og N + 1 er primtal eller 
sammensatte sees ikke at være behandlet av Euklid. Nogen 
eksempler vil kaste lys over dette spørsmaal. 
1 ) 
2 ) 
3) 
4) 
5) 
6 ) 
7 ) 
1 • 2 
„ „ 2-5-lBl 
2-2; 2-f 1=3 
3=6;+ 1 = 5 
| Begge 
5} 
primtal. 
1 = 
30 -f- 1 = 29 
Begge primtal. 
| Begge primtal. 
!- 2 - 3-5 = 30 ; ^ + , 
1.2. 3 . 5 .7 = 210- 210^ 1 =209 = 11-19! 
2 3 5 7 210, 210 + i=2ii = Pri m t a L 
1 - 2 - 3 - 5 - 7 - 11 = 2310; 
2310 + lB 2309 
2310 + 1 = 2311 
Begge 
primtal. 
1-2-3.5.7.11.13 = 30030; 
30030 - 4 - 1 = 30029 Primtal. 
30030 + 1 = 30031 = 59 - 509 ! 
Av disse 6 eksempler fremgaar at N ^-1 og N + 1 
begge samtidig kan være primtal eller at det ene kan 
være et sammensat tal og det andet et primtal. 
Spørsmaalet er nu: kan begge samtidig være sam¬ 
mensatte tal? 
Et almindelig bevis for dette ligger over den 
matematiske analyses kræfter for tiden. Men allerede 
det næste eksempel viser at saa kan være tilfældet. 
1-2.3.5-7.11.13. 17 =510510; 
510510 -f- 1 = 510509 = 61 • 8369 ! 
510510 + 1 = 510511 = 19 • 97 • 277 ! 
