— 185 — 
Dette sidste eksempel er merkelig derved at den mindste 
faktor i N -f- 1 er det nærmeste primtal i talrækken efter 
det størst antagne, her 17, altsaa 19. 
Matematikerne har arbeidet meget med at utfinde lovene 
for primtallene. De har søkt efter at finde et uttryk som 
skulde repræsentere alle primtal. Forsøkene er til dato 
mislykket. Den store tyske matematiker Leonhard Euler 
angav i 1774 at uttrykket x 2 —x -f- 41 gir primtal for alle 
værdier av xj= 0, 1, 2, 3 • • • • 40. Overfor 40 svigter uttryk¬ 
ket, det gir da baade primtal og sammensatte tal. 
Den franske matematiker Legendre (1752—1833) 
anførte uttrykket x 2 x -j- 17 for x = 0, 1, 2, 3 • • • • 16 og 
likeledes uttrykket 2x 2 —|— 29 for x = 0, 1, 2, • • • • 28. Han 
har levert et bevis for at der ikke gives slike hele ratio- 
nale uttryk som kun leverer primtal! 
Den tyske matematiker Sti fei, som var en av de bety¬ 
deligste matematikere i det 16de aarhundrede trodde at ha 
fundet et slikt uttryk i 2 2n + 1 -f- 1. Dette uttryk svigter dog 
allerede for værdien n = 4. 
22n + i _!_ 1 = 2 2 • 4+l_ | _ 1 = 1 = 511 = 7 .73. 
I en lignende vildfarelse svæver den berømte franske 
matematiker F er mat (1601—1665), idet han mente at uttryk¬ 
ket 22 n -f 1 leverte bare primtal for alle værdier av n. 
I 1732 viste imidlertid Euler at uttrykket svigter for 
n === 5. 
2 2 “ + 1 = 22 5 -f 1 = 2 32 -f 1 H 4294967296 -f 1 = 
= 4294967297 = 641.6700417. 
Euler har selv anført et tredje uttryk, men heller ikke 
dette gir bare primtal. Dette kan imidlertid ikke bli behand¬ 
let i en populær artikel. 
Fermat har imidlertid opdaget en merkelig lov angaaende 
tallene, den saakaldte Fermatske sats. Denne sats gaar ut 
paa at hvis x betyr et hvilketsomhelst tal og p et primtal 
som ikke gaar op i x, saa leverer uttrykket xp- 1 ^ 1 altid 
et tal som er delelig med p. 
1) 5 3 ‘ 4 ' 1 -4- l = 5 2 ~-l = 25-f-l== 24, som er delelig med 3. 
2) 10 7 -1 -f- 1 = 10 6 -i- 1 B 1000000 ~l| 999999, som er 
delelig med 7. 
Denne regel svigter aldrig, og den er derfor en av de 
merkeligste love i tallenes verden. 
