K OTE SUR LES SOLUTIONS SINGULIÈRES, ETC. 25 
Réciproquement, en éliminant p soit entre les équations (i) 
et (2), soit entre les équations (i) et (3), on obtient une solution 
singulière, à la condition toutefois que le résultat obtenu satis¬ 
fasse simultanément aux équations (i), (2) et (3). 
Cet énoncé contient le critérium de Darboux. 
Aux enveloppes proprement dites, il convient d’ajouter les 
points isolés par lesquels passent =o 1 éléments linéaires, pourvu 
qu’ils satisfassent à l’équation différentielle donnée, et à la con- 
dition ~~ = 0 ; il n’est pas indispensable qu’ils remplissent la 
y 
condition^- 
-+-f—p = 0 . 
èx èy 
Remarque. — Lorsque l’équation (1) n’admet pas de solution 
singulière, l’élimination de p entre les équations (1) et (2) con¬ 
duit à une courbe qui n’est pas une intégrale de (1), mais bien 
le lieu géométrique des points des courbes/^, y, p) — 0, 
p — const., où la constante p et ^ ont la même valeur. 
Quelques exemples simples et bien connus feront voir au lec¬ 
teur l’avantage que le procédé développé plus haut pourra lui 
procurer. 
Exemple 1. — Soit donnée l’équation différentielle 
(!) /O», y-, P) = 2p 2 y* -\-2pxy x* -\- y 2 — 1 = 0, 
dont l’intégrale générale est 
(l a ) (x — Cy-\-y“=l — C' 2 . C = const. 
L’équation (1), dans laquelle on considère, pour un instant, p 
comme un paramètre, représente 1 ellipses qui toutes passent 
par les points x = ± 1, y = 0. En la différentiant dans cette hy- 
du 
pothèse et en posant immédiatement =p, il vient 
ctoc 
ou bien 
4 p 3 y -H 2 py + 2 p' 2 x-±-2x-{-2py = Q 
( 2 ) (1 +p^(2py + x)— 0 . 
On satisfait à cette équation en admettant soit 
(a) 2 py + x = 0, 
