soit 
H. AMSTEIN 
(b) 1+^ = 0. 
Dans le premier cas on a 
x 
P = -2ÿ 
et l’introduction de cette valeur dans l’équation (1) donne 
(3) ~ + = 
L’équation (3) satisfait aux équations (1) et (2), de même qu’à 
la condition 
^ = 4 py-+ 2xy— 2y (2py+x) = 0; 
elle représente bien une solution singulière de l’équation diffé¬ 
rentielle donnée. L’ellipse (3) est en effet aussi bien l’enveloppe 
des ellipses/(a?, y,p) = 0,p = const. que celle des circonfé¬ 
rences (l a ). 
Dans le second cas où p = ± i, (i = ]/^T), l’élimination de p 
entre les équations (1) et (b) fournit 
( 4 ) x 2 — y 2 — 1 zh 2 ixy = 0, 
équation qui se décompose en ces quatre 
y — i(x — 1) = 0 , 
y H- i [x — 1} == 0, 
y-i(x-\- 1) = 0, 
y -\-i[x- h 1) =0. 
Chacune de ces droites imaginaires satisfait à l’équation (1), 
mais ne remplit pas la condition ^ = 0. Il s’ensuit que l’on 
peut (si toutefois on admet des intégrales imaginaires) les con¬ 
sidérer co mme des intégrales de l’équation différentielle donnée ; 
ce ne sont, il est vrai, ni des solutions singulières, ni des inté¬ 
grales particulières, mais seulement des parties d’intégrales 
particulières. En effet, en combinant les équations (4 a ) convena¬ 
blement, il vient 
{x — l)*+y* = 0, 
( 4 b ) 
0+i) 2 + r=o 
