28 
H. AMSTEIN 
L’équation (2) est satisfaite 
1») pour p=~, 
2°) pour p = zhi- 
En introduisant = — dans l’équation donnée, il vient 
x 
—p — 0, 
d’où l’on conclut que le premier facteur de (2) ne conduit pas à 
une solution singulière, mais seulement à une partie d’une inté¬ 
grale particulière à savoir y — 0. On trouverait de même, en 
considérant clans l’équation donnée y comme variable indépen¬ 
dante et x comme fonction cherchée, que x = 0 est également 
une partie d’une intégrale particulière. 
L’hypothèse p = introduite dans l’équation (1), donne 
(zh?Æ — y) [xzhiy) + i = 0 
ou bien 
(yipixy-\- 1=0. 
Cette équation représente les quatre droites imaginaires 
/ y — iCx —1) = 0, 
\ y+i[x — i)=o, 
I y — i(x + 1) = 0, 
\ y-H(aM-l)=0 
qui, satisfaisant simultanément aux équations (1), (2) et (3), cons¬ 
tituent des solutions singulières de l’équation (1). Elles forment 
en effet, non seulement l’enveloppe des hyperboles équilatères 
/ (æ, y , p) — 0, p = const., mais encore celle des coniques ho- 
mofocales (l a ). Leurs six points d’intersection sont : 
a) les points circulaires à l’infini ; 
b) les foyers réels des coniques (l a ) : x — zh 1, y = 0, et 
c) les foyers imaginaires de ces mêmes coniques : x = 0, 
y = ±i- 
Les valeurs x = ± \ r y = 0, 
x — 0, y = ±: i. 
satisfont aux équations (1) et (3) quel que soit^?; mais elles ne 
