23 
NOTE SUR LES SOLUTIONS SINGULIÈRES, ETC. 
satisfait à l’équation (1). L’intégrale générale de l’équation dif¬ 
férentielle se compose de 1 courbes et contient, dans son en¬ 
semble, les ^ 2 éléments de contact définis par l’équation (1). 
Toute intégrale qui ne fait pas partie de l’intégrale générale est 
dite une solution singulière. La solution singulière sera, dans 
la règle, l’enveloppe des courbes composant l’intégrale générale. 
Il peut arriver que =*> 1 éléments de contact satisfaisant à 
l’équation (1) aient un point commun; dans ce cas, ce point 
devra également être considéré comme une intégrale particu¬ 
lière ou une solution singulière ou quelquefois même l’une et 
l’autre. 
Soit donc 
(1) f(x,y,p) = 0, 
l’équation différentielle donnée et 
(l a ) F(x,y, G) = 0, C = const. 
son intégrale générale. On remarquera que des opérations abso¬ 
lument identiques conduisent d’une part à l’enveloppe de (l a ) et 
d’autre part au lieu géométrique des points où l’équation (1) 
fournit pour p des racines doubles, et l’on peut démontrer que 
les deux courbes ainsi obtenues sont, en général, identiques et 
forment une solution singulière de (1). Il est donc naturel de 
considérer (1) comme l’équation d’une famille de courbes. La 
quantité p y joue le rôle d’un paramètre qui conserve pour 
chaque courbe individuelle une valeur constante. 
Il va de soi que les éléments de contact d’une courbe 
f(x, y,p) = 0 ,p — const. ne font pas, en général, partie des 
éléments de contact définis par l’équation (1). Il pourrait en être 
autrement dans le cas où la valeur accidentelle attribuée au 
paramètre p se confondît avec la valeur , tirée de l’équation 
/(æ, «/, p) = 0,p = const. Mais il ne suffit pas, pour amener 
cette circonstance, que ~~ soit égal à p ; encore faut-il que les 
trois quantités x , y , p = satisfassent simultanément àd’é- 
O/X 
quation (1). 
Ces considérations conduisent au procédé suivant : Dans 
l’équation différentielle donnée 
