C.-J. KOOL 
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pour les points A et B sans la faire également pour tout 
autre couple de points pris dans l'espace, quelle qu’en soit 
du reste la distance. Or, la première de ces deux droites 
coïncide évidemment avec la partie AE 4 D 4 de la ligne 
AD 4 B. Représentons la seconde par AE 2 D 4 . 
Gomme elles ont la même longueur, étant des droites 
entre les mêmes points extrêmes A et D 4 , il faut aussi 
admettre que le chemin AE 4 D 4 E 3 B, qui unit les points 
A et B en passant par les points E 4 et D 4 , et le chemin 
AE 2 D 1 EoB, qui unit ces points en passant par E 2 et D 4 , 
sont également longs. Mais, cela étant, on sera obligé 
d’attribuer une même longueur aux trois lignes AC 2 B, 
A E 4 D 4 Eo B et A E 2 D 4 E 3 B ; et, puisque les deux premières 
sont droites par supposition, 011 devra regarder comme 
telle également la troisième, la ligne AE 2 D 4 E 3 B. 
Remarquons maintenant que rintroduction de la suppo¬ 
sition ft oblige de reconnaître non seulement l’existence de 
deux chemins droits entre les points A et D 4 , ainsi qu’il 
a été dit ci-dessus, mais encore celle de deux chemins 
droits entre les points D 4 et B. Le premier de ces chemins 
est évidemment la partie D 4 E 3 B de la droite A C 4 B ; indi¬ 
quons le second par la ligne D 4 E 4 B. 
Si nous répétons pour ces deux chemins le raisonnement 
fait ci-dessus pour les chemins A E 4 D 4 et AE 2 D 4 , nous 
serons aisément conduits, par une considération trop sim¬ 
ple pour que je la consigne ici, à la nécessité de recon¬ 
naître déjà l’existence de cinq chemins droits entre les 
points A et B, à savoir celle des chemins AG 2 B, A E 1 D 1 E 3 B, 
AE 4 D 4 E 4 B, AE 2 D 4 E 3 B et AE 2 D 4 E 4 b/ 
Mais le nombre des points, tels que D 4 , qu’on peut 
choisir sur la droite AG 4 B pour y appliquer le raisonne¬ 
ment exposé plus haut, est infini, la distance entre les points 
A et B étant supposée dans l’axiome a soit de grandeur 
finie, soit infiniment grande. 
Puis il est évident que le même raisonnement peut être 
appliqué à chacun des points infiniment nombreux, tels 
