L AXTOME DE LA DROITE 
2!? 
que D 2 , par exemple, qui sont situés sur la seconde droite 
AC 2 B, par laquelle on pourrait, conformément à la sup¬ 
position /?, unir les points A et B. 
Enfin, rien n'empêche qu'on applique le dit raisonne¬ 
ment à tous les points infiniment nombreux de chacune des 
autres droites, ainsi que AE 2 D X et D 1 E 4 B, dont un rai¬ 
sonnement antérieur nous a obligé de reconnaître l'exis¬ 
tence. 
En regard de ces trois motifs, nous sommes manifeste¬ 
ment en droit de conclure qu’il serait possible de mener 
par les deux points A et B un nombre infiniment grand 
de droites, c’est à dire un nombre infiniment grand de che¬ 
mins qui sont tous le plus court possible, si la supposi¬ 
tion était vraie. 
Maintenant cette conclusion suffit-elle, par son inad¬ 
missibilité apparente, pour rejeter comme fausse la dite 
supposition ? 
J'ose affirmer que non; car, ainsi que je l'ai fait remar¬ 
quer tout au commencement de ma note, aussi bien qu’il 
est possible de joindre deux points par une infinité de 
chemins différents dont la longueur est la même, mais su¬ 
périeure à celle du chemin le plus court qui existe entre 
ces points, aussi bien doit-on à priori admettre comme 
étant possible de les unir par un nombre infiniment grand 
de chemins qui ont tous exactement la longueur de ce plus 
court chemin. 
Toutefois nous allons pouvoir utiliser la conclusion ob¬ 
tenue ci-dessus pour atteindre notre but, en montrant 
qu'elle entraîne forcément une conséquence dont la faus¬ 
seté ne saurait, cette fois, pas être mise en doute. 
Pour ce faire, il sera cependant nécessaire que nous don¬ 
nions d’abord à la démonstration exposée ci-dessus une 
forme tant soit peu différente. 
Représentons de nouveau (voir la fig. 2) par A C 4 B et 
AC 2 B les deux droites qui, d'après la supposition /?, pour¬ 
raient être menées par les points A et B, et prenons sur 
