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C.-J. KOOL 
la première de ces droites deux points G, et G 2 , éloignés 
de la même distance du point C,, que je suppose être situé 
juste en son milieu. 
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Fig. .2. 
Comme je l’ai fait remarquer déjà précédemment, on 
sera, en vertu de la supposition /?, obligé d’admettre deux 
droites entre les points G x et G 2 , comme on les admet entre 
les points A et B. L’une de ces droites étant évidemment 
la partie Gj^Gg de la droite AC^, j’indiquerai l’autre 
par G 1 HG 2 . Or il est clair que la longueur totale des trois 
droites AG X , G x H G 2 et G 2 B est la même que la longueur 
totale des trois droites AG X , G-l C x G 2 et G 2 B; et, puisque 
cette dernière longueur totale est celle d’un des chemins 
les plus courts entre A et B, étant par supposition une des 
droites qui unissent ces deux points, la ligne AG 1 HG 2 B 
doit également se confondre avec un de ces chemins ; elle 
aussi est donc une droite entre les points A et B. 
Mais le nombre des points G t et G 2 que compte la droite 
A C 1 B et pour lesquels on peut donc répéter le raisonne¬ 
ment qui précède, est infiniment grand. Par conséquent 
nous sommes obligé de conclure à l’existence d’un nombre 
infini de droites entre A et B. 
