* L ? AXIOME DE LA DROITE 2 K) 
Nous arrivons ainsi à la même conclusion à laquelle nous 
a ci-dessus conduit une considération un peu différente. 
Mais ce que cette dernière considération ne permettait 
guère de faire ressortir, nous allons facilement le déduire 
de celle que nous venons d’exposer. 
Nous faisons remarquer, en effet, que chacune des droites 
qui, d’après ce qui précède, uniraient, en vertu de la sup¬ 
position jff, les points A et B, telle que A G x H G 2 B, a au 
milieu son cours propre, c’est à dire distinct de celui de 
chacune des autres droites, en sorte qu’il faut admettre que 
la situation dans l’espace de l’élément du milieu qui est 
situé à une même distance des deux points A et B est 
différente aussi pour toutes ces droites 1 . 
Mais, cela étant, on sera obligé d’admettre qu’une sur¬ 
face sphérique ayant pour centre un des deux points A ou 
B et pour rayon la moitié de la distance AB, est rencon¬ 
trée par les susdites droites en des points tous différents 
entre eux. Or une telle assertion pouvant être faite pour 
1 On pourrait, il est vrai, admettre à la rigueur le contraire. On pourrait, 
par exemple, admettre que la droite qui, avec la droite G’i G G’2 constitue le 
couple de celles qui, d’après la supposition /?, existeraient entre les points G’i 
et G2, et la droite qui, avec la droite Gi Ci G2 constitue le couple de celles qui, 
d’après la même supposition, existeraient entre les points Gi et G2, se confon¬ 
dissent dans leur partie du milieu ; que la première droite eût par exemple le 
cours indiqué dans la figure par les lettres AGi PHQG’2 B, la seconde celui 
indiqué par les lettres AG1PHQG2B, la partie PH O étant commune à l’une 
et à l’autre. Mais dans cette supposition il suffirait d’appliquer à cette partie 
commune la même supposition /3, suivant laquelle il y aurait entre ses extré¬ 
mités P et Q, non pas une seule, mais deux droites, disons les droites PH O 
et PhQ. Puis, on remplacerait dans la pensée la seconde des droites susdites, 
à savoir la droite AGi PHOG2B, par la droite AGi PI1OG2B qui a évidemment 
la même longueur, tandis qu’on conserverait à la première, c est à dire à la 
droite AG’iPHOG’ 2B le cours qu’on lui supposait d’abord. Or les éléments 
situés au milieu des deux droites AG1PI1QG2B et AG’iPHQG’ 2B, respecti¬ 
vement donc l’élément qui se trouve en h et l’élément qui se trouve en H, ont 
visiblement une situation différente dans l’espace. Par conséquent il sera, en 
partant de la supposition /3, toujours possible d’indiquer deux droites qui, unis¬ 
sant les points A et B, ont respectivement entre les points G’i et G’2 et entre 
les points Gi et G2 un cours autre que la droite A Ci B, et dont les éléments du 
milieu ne coïncident pourtant pas entre eux. 
