l’axiome de la droite 
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distances en question, il sera de rigueur que par une 
démonstration en règle on prouve que cette opinion soit 
vraiment justifiée. Mais dans le problème qui nous occupe 
la dite situation toute spéciale ne saurait assurément être 
supposée au point Iv dont il a été parlé ci-dessus. Car, 
ainsi qu’on fa vu plus haut, chaque point de la droite 
A Ci B doit satisfaire à la condition que les chemins les 
plus courts possible qui le relient respectivement au point 
B et au point B' aient une même longueur, en sorte qu’on 
n’est nullement libre de choisir, en vue d’obtenir fégalité 
de ces chemins, la position de ce point K. 
Par conséquent nous pouvons hardiment conclure à 
l’inégalité des deux longueurs K B et K B' , sans que nous 
soyons tenu d’ailleurs de justifier cette conclusion par une 
démonstration, quelle qu’elle soit 1 . Cette inégalité, je le 
répète, découle directement et nécessairement du caractère 
essentiel de l’espace, à savoir de son extension illimitée 
dans tous les sens. Elle constitue le second fait dont j’ai 
parlé précédemment comme pouvant être considéré comme 
un autre axiome de la géométrie, dans l’acception rigou¬ 
reuse de ce mot. 
Evidemment elle nous mène immédiatement au droit de 
rejeter comme fausse la supposition /?, celle-ci nous ayant 
ci-dessus conduit à un résultat contraire, c’est-à-dire à la 
nécessité d’admettre l’égalité des longueurs K B et K B'. 
Or, j’ai à peine besoin d’ajouter que la fausseté de la 
supposition implique la vérité de l’axiome a. 
1 II en est ici exactement comme clans le cas où, tirant par deux points 
quelconques deux lignes courbes ou droites d’une façon toute arbitraire dans 
l’espace, l’on affirmerait que ces lignes ne se rencontrent pas. Une telle affirma¬ 
tion n’exigerait évidemment de la part de celui qui la ferait aucune justifica¬ 
tion spéciale, sa justesse découlant avec nécessité de l’extension illimitée de 
l’espace dans tous les sens. Mais si, grâce à un choix particulier des deux 
points et grâce à un cours spécial donné aux deux lignes, on croyait pouvoir 
admettre la rencontre de celles-ci — ainsi que cela se présenterait, par exemple, 
s’il s’agissait de lignes droites, dans le cas où ces lignes eussent été tirées dans 
un même plan — alors il deviendrait par contre de rigueur de démontrer que, 
dans les circonstances admises, la dite rencontre aura vraiment lieu. 
