PAUL MAYOR 
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clu carré dans les colonnes verticales. La somme des chiffres de 
chacune des colonnes horizontales et verticales augmentera aussi 
d’une colonne à l’autre d’une quantité constante. Dans le tableau 
figure 3, cette augmentation est de 6 pour les colonnes verticales, 
de 36 pour les horizontales et d’une manière générale de n et 
de n 2 réciproquement dans ces deux derniers cas. Ensuite, la 
moyenne des totaux de deux colonnes quelconques a et a', b et b f , 
d et d',f etf', etc., situées symétriquement l’une par rapport à 
l’autre, donnera partout le même résultat, qui sera la somme 
commune demandée. Ceci est si facile à voir par inspection, ou 
à démontrer par l’arithmétique ou l’algèbre, que nous croyons 
inutile d’en faire la démonstration. On obtiendra cette moyenne, 
dans les carrés, en opérant la transposition réciproque de la 
moitié des chiffres de chacune des colonnes dans sa symétrique. 
Si en faisant cette opération, on ne changeait rien au total des 
diagonales et, dans les carrés impairs, au total des colonnes cen¬ 
trales, on aurait un carré magique, formé suivant toutes les 
règles. Pour ne rien changer à ce total, il faut que les transpo¬ 
sitions des chiffres des diagonales et des centrales ne soient ja¬ 
mais faites autrement que par paires et symétriquement. Par 
exemple, si dans le tableau ci-dessus on a à transposer 36 avec 
6, il faut en même temps transposer 31 avec 1. De même on ne 
transposera pas 26 avec 29, sans transposer aussi 8 avec 11. Les 
chiffres transposés ainsi par paires et symétriquement, pourvu 
qu’ils ne soient pas situés sur les diagonales ou sur les colonnes 
centrales, pourront au besoin servir à une nouvelle transposi¬ 
tion , ce qui n’est pas le cas pour les chiffres transposés isolé¬ 
ment. Par exemple, après avoir effectué ces dernières transpo¬ 
sitions par paire, on pourra de nouveau, si cela est nécessaire, 
transposer 1 et 6, 31 et 36, 26 et 8 et 29 et 11. Mais si on avait 
effectué, par exemple, la transposition de 32 avec 2, isolément, 
on ne pourrait former le carré magique, au moins d’après notre 
méthode, si on faisait une nouvelle transposition de 32 avec 5 
et de 35 avec 2. 
Il y aura donc trois espèces de transpositions de chiffres, les 
transpositions verticales, horizontales et verticales-horizontales 
ou doubles. Ces diverses transpositions équivalent à inscrire les 
chiffres transposés dans les cases en comptant, dans le premier 
cas de gauche à droite, en commençant par les cases du bas, 
dans le second cas de droite à gauche, en commençant par les 
cases supérieures, et dans le dernier cas, en sens inverse du nu- 
