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PAUL MAYOR 
Nous indiquerons le signe de la demi-transposition par un 
trait, accompagné d’un point placé de manière à montrer dans 
quel sens doit se faire la permutation des chiffres. Dans le carré 
de 5, figure 14, il y a quatre demi-permutations horizontales, 
ce sont celles des chiffres 3 et 4, 6 et 8, -18 et 20 et 22 et 23, 
ainsi que quatre demi-permutations verticales, celle des chiffres 
16 et 11,2 et 12, 14 et 24 et 10 et 15. Le carré figure 14 donne 
le carré figure 1. 
On obtient des variations multiples des carrés magiques, en 
faisant permuter les colonnes entre elles, avant ou après la for¬ 
mation des carrés. Dans le premier cas, quel que soit le carré, 
et dans le second cas, lorsqu’il s’agit des carrés doubles-pairs et 
impairs, la seule condition voulue est que cette opération s’effec¬ 
tue symétriquement par rapport à l’un des axes du carré. Ainsi 
pour former de nouveaux carrés, d’après celui qui est donné 
figure 11, on ferait permuter les colonnes : a avec a', g avec g 
b avec b r en même temps que b r et c,f et h en même temps que 
/' et h', etc, ; suivant toutes les combinaisons permises, une seule 
ou plusieurs à la fois et suivant l’ordre qu’on voudra. 
Dans les carrés pairs, on ne doit faire permuter entre elles 
que les colonnes symétriques, par exemple, figure 13, a et a', 
b et b', d et d', etc. Autrement on amènerait, sur les diagonales, 
des chiffres qui auparavant auraient été transposés isolement. 
Nous terminons ce sujet en donnant un exemple de ce que 
nous nommerons le cube magique, fig. 15 et 16. Il s’agit de 
former six carrés magiques équivalents, un carré pour chacune 
des faces du cube. Dans ce cas nous avons choisi le carré de 5. 
Le plus petit chiffre est 1, le plus grand 158, la somme com¬ 
mune aux 60 colonnes et aux douze diagonales est de 390. Il 
s’agit de ne pas dépasser ces chiffres, c’est-à-dire de choisir, 
dans la série 1-158, 150 chiffres, pour former le cube magique 
de manière à ce que le total commun aux colonnes ne soit pas 
supérieur à 390. C’est un problème dont la solution présente 
quelques difficultés; nous le donnons à résoudre à ceux que la 
question intéresse. 
