534 
/o x = X, (x 2 ), fx = 2 .^dx* X, (x 2 ), om X, betyder den till 
X, (eller derivaten af X) omvända functionen. Är t. ex. 
Xx = 3°x, så är X,x af 2 gr., och X, har 2 värden, och 
sål. fx 3 completta. Äfvenså om f — xf 2 + x -f 3 — x 3 f 3 — 
= Xf 3 , så blir d X f 3 = X, f 3 . d f 3 = — x 3 d f 3 , således 
d f 3 = o eller X, f 3 = — x 3 , och följakteligen f 3 = Const. 
eller = X, (—x 3 ), och således /x = 3 0 x = 
Xe + bx + cx' 2 + ex 3 , eller =2.3 J dx 3 (X,— 1 (—x 3 )). 
I allmänhet om f— x f -j- x 2 f 2 — x 3 f 3 -f-.. 4-x n /* n = 
X/n, så finner man genom differentiation, enär n .f a — d f a -i, 
X 
att —x n d/n = d/n. X,f n , och följakteligen d/n = o,/■„=--Cst., 
eller == X, (— x) n således fx = n°x eller = y n .J dx 11 X,(— x) n . 
Sättes nu fx = x . u, så biir fx ■== f = x u, 4- 
f 2 = xu 2 4- l1 / 5 /rx = xu r 4- Ur—i, efter hvars insättande 
den nu integrerade eq. förenklas till 
X (Un — 1 4- XU„) H-X n + 1 U n = O, 
som är blott af l:a ordningen till u n _i. Sättes derföre 
u n = dy, u n —i = ny, så integreras således 
X (ny 4" x dy) -\ -x^ 1 . dy = o, 
4-n vare hvad helt tal som helst och dx = 1. 
När man nemligen på endera af föregående sätt funnit 
fx 1 t d n—1 
fx, så är u = —, och y = —. u n _i = — 
x n /n x 
om yn — 1 . 2.3 . . n. När derföre n är bråk, måste deri- 
vaterna interpoleras, hvilket kan ske genom ett definit - inte¬ 
gral. (Ett sådant dithörande ses i Grelles Journ. VI1, 102, 309.) 
Det är klart, att genom föregående integraler också fås 
de af vissa partiella eqvationer eller af eqvationer af högre 
ordning. 
