537 
At en Ligning er algebraisk opløselig, vil jo ikke sige 
Andet, end at dens Rødder lade sig udtrykke som explicite 
algebraiske Functioner af Coefficienterne tilligemed de øvrige 
bekiendte Størrelser. Det er derfor nødvendigt at kiende 
den almindelige Form for et algebraisk Udtryk. Abel finder, 
at den er følgende: 
12 3 1 
— — — «—1 
IL {L U - 
Po + s + p 2 S + p 3 s + ... + P^_! s “ , 
1 
ti 
hvor man kan antage, at [i er et Primtal, og at s ikke lader 
sig udtrykke rationalt ved p 0 , p 2 , p 3 , . . . P w „ 1? og hvor disse 
sidste Størrelser tilligemed s selv ere algebraiske Udtryk af 
lignende Form. Da imidlertid den samme Størrelse kan til¬ 
fredsstille en Uendelighed af Ligninger, maa man først be¬ 
tragte den simplest mulige. Dette er den saakaldte irre- 
ductible Ligning, der defineres ved den Egenskab, at den 
ikke har Rødder fælles med Ligninger af lavere Grad, hvis 
Coefficienter kunne udtrykkes rationalt ved den givne Lig¬ 
nings Coefficienter og bekiendte Størrelser. Det bevises 
derpaa, at enhver reduetibel Ligning er et Product af to eller 
flere irreductible. 
Nu gaaer Abel over til at undersøge, hvordan man 
danner den irreductible Ligning, der tilfredsstilles af et givet 
algebraisk Udtryk. Han viser, at man faaer alle Ligningens Rød¬ 
der, naar man i det givne Udtryk giver samtlige Rodstørrelser 
alle deres Værdier, og at man altsaa faaer den irreductible Ligning 
selv ved at danne en Ligning, hvis Rødder ere alle indbyrdes 
forskiellige Værdier af det givne algebraiske Udtryk. Eleraf 
udledes blandt andet den vigtige Sætning, at Exponenten for 
1 _ 
det ydre Rodtegn s u maa vare en Factor af Ligningens Grad. 
