538 
Den Methode, som nu først frembyder sig for at af- 
giore, om en given irreductibel Ligning er opløselig eller 
ikke, bestaaer i at danne den irreductible Ligning, som et 
hvilketsomhelst algebraisk Ldtryk tilfredsstiller, og sammen¬ 
ligne den med den givne. Men uagtet man har givet Re¬ 
gelen, hvorefter denne Ligning dannes i ethvert Tilfælde, 
har man dog ikke derfor Ligningen selv, og om man end 
havde den, vilde det være meget vanskeligt at afgiøre, om 
den kunde giøres identisk med den givne Ligning. Abel 
specialiserer derfor det algebraiske Udtryk, idet han søger 
at finde, hvilken Form det maa have, for at kunne være 
Rod i en Ligning af en given Grad. I denne Undersøgelse 
bringes man naturligt til at skielne mellem de to Tilfælde, at 
Ligningens Grad er et Primtal eller et sammensat Tal. 
Er Graden nu Primtallet ^t, maa Roden x være af Formen 
123 £-1 
fl fl U fl 
X= =Po+ S ' + P 2 S +p 3 S ' +---+P S , 
u —1 
saasom Rodexponenten /x maa gaae op i Graden. Efter det 
Foregaaende maa nu dette Udtryk ikke kunne antage flere 
end Værdier. Dette fører til følgende nøiere Bestemmelse 
af Udtrykket: 
1) Størrelsen p 0 maa være rational; 
2) Enhver ny Værdi, s', af s maa være af Formen 
u m 
S / = p S . 
m 
Da nu m kun kan have Værdierne 1, 2, 3, ... (/*—1), maa 
s være bestemt ved en irreductibel Ligning, hvis Grad v er 
liig eller mindre end /x, — 1 . Paa dette Sted standser den 
sammenhængende Udvikling i Abel’s Afhandling; dog findes 
der endnu forholdsviis udførlige Antydninger, saa længe det 
