COURBES D ? ÉGALE LONGUEUR 
3l 
pour les courbes (£) 
et Fou peut remarquer que la seconde équation s’obtient en 
1 
remplaçant dans la première x par J, y par rj-, m par — . 
Si donc on se figure les plans (z) et (£) confondus, les 
deux familles de courbes n’en forment qu’une seule. Elles 
constituent, en quelque sorte, une involution en ce sens 
que la correspondance entre deux courbes qui répondent à 
la même valeur de m, est réciproque. 
Lorsque l’une des courbes est formée d’un seul trait 
fermé, la courbe correspondante se compose de deux traits 
fermés, isolés et symétriques par rapport à l’axe des or¬ 
données. 
Dans le cas limite m — 1, l’hyperbole x 2 — y 2 
correspond à elle-même. (Elément double de l’involution.) 
V. Çz=3z — z s . 
Les courbes (z) ont pour équation 
rn% 
et les courbes (f) sont données par 
£ = 3 r cos cp — r 3 cos 3ç>, 
y — 3r sin <p — r 3 sin 3 <p . 
Dans le cas particulièrement intéressant où m — 3, la 
courbe (z) devient la lemniscate 
(^2 + ^ 2 ) 2 _ 2 (^ 2 _^ 2 )- 0? 
