H. AMSTEIN 
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Ainsi on a bien ds zz da et les deux courbes sont 
d’égale longueur. 11 va sans dire que, s’il s’agissait de 
calculer la longueur de la lemniscate (1), on préférerait 
introduire des coordonnées polaires moyennant les for¬ 
mules x—r cos cp , y zz r sin y . On obtiendrait de cette 
façon 
\/2 d(p 
r zz y/2 \/cos %cp , ds 
\J cos 2<^ 
Le rayon de courbure R de la courbe (z) est donné par 
la formule 
R 
V dx 2 + dif 
dx d 2 y — dy d 2 x 
son expression tirée des formules (4), est 
>/2 
R 
3 sin £ 
tandis que le rayon de courbure P de la courbe (£) devient 
fÿ v 
Pzz 
'j 
i + dM 
d 2 r] 
df 2 
sin £ 
j 
Le rapport — zz — 3 est donc constant; cette circons¬ 
tance digne d’être remarquée, se rencontrera encore plu¬ 
sieurs fois dans la suite de ce travail. 
IX. 
f zz arctg z 
Cette fonction conduit aux mêmes courbes que la pré¬ 
cédente, à la seule différence près que les axes des x et 
des ij sont échangés entre eux (mais non les axes des £ 
et des r/). 
