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THÉORÈMES SUR LES TANGENTES ü’üNE CONIQUE 
Par 3 points doubles et 8 points simples, il ne peut passer 2 
courbes du 4 e ordre. La construction précédente nous montre 
que si C varie de manière que l’involution des diamètres conju¬ 
gués ne change pas, la courbe H reste la même, c’est-à-dire : 
P restant fixe, si G varie de manière à rester semblable à elle- 
même , les pieds des tangentes de P normales à G sont constam¬ 
ment sur la même courbe H. 
Les considérations dualistiques de celles qui précèdent nous 
feraient voir que les tangentes en les pieds des 8 normales font 
partie d’une enveloppe E, de la classe 4, doublement tangente 
aux axes de C et à la droite de l’infini. Cette enveloppe ne 
change pas, si, P restant fixe, C varie de manière à conserver 
les mêmes foyers. 
Si P dégénère en deux points, H dégénère en deux hyperboles 
équilatères passant par le centre et les points de l’infini sur les 
axes (la construction géométrique de H le montre suffisamment). 
E se compose alors de deux paraboles tangentes aux axes et les 
théorèmes précédents deviennent des théorèmes bien connus 
relatifs aux 4 normales abaissées d’un point à une conique 
donnée. (Voir : Steiner, Journal de Crelle, vol. 49, ou Journal 
de Liouville, vol. 20. 
II. La conique C et la directrice D étant données, appelons 
A x , A 2 les points d'intersection de C avec un des côtés du trian¬ 
gle autopolaire commun à G et à D. Soient I t , I 2 , les points 
d'intersection d'une conique quelconque K avec le même côté ; 
M x , M 2 , les conjugués harmoniques des points I par rapport 
à A t , A» ; N { , N 2 , les conjugués harmoniques des points M par 
rapport aux sommets du triangle; les 6 points tels que N, situés 
sur les 3 côtés du triangle , sont sur une conique K '. Les coni¬ 
ques K et K' coupent C en 8 points tels que les 8 normales à G, 
en ces points, sont tangentes à la même conique. (Fig. 1). 
Soit 
K — cc n x 2 -\-a^y 2 + a 33 z 2 + -f Vct^yz -f 2a 3t æz = 0. 
Les points d’intersection I t , ï 2 de K avec l’axe œ — 0 sont 
donnés par 
«h x 2 + 2 cr 12 xy + if — 0 
