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THÉORÈMES SUR LES TANGENTES d’üNE CONIQUE 
Le point milieu de EN' aura pour coordonnées 
m(a — b) (mx i — ny i -J- v) 
2 (an- -j- bm 2 ) 
n(b — a) (ny t — mx x -f- p) 
2 (bm* + an 2 ) 
Ces expressions étant les mêmes que celles trouvées plus haut 
pour les coordonnées du centre du cercle passant par A', B, R, T, 
le théorème est démontré. 
Connaissant les coordonnées du centre de P et du centre du 
cercle A', B, R, T, on vérifie facilement que la normale en A et 
sa parallèle menée par le centre du cercle sont symétriques par 
rapport au point milieu de la distance des centres des coniques 
P et C. On peut donc énoncer ce qui suit : 
Si, du centre du cercle passant par les pieds de 3 normales, 
on mène une parallèle à la 4 e , les 4 droites d, que Von peut mener 
de la sorte, forment un quadrilatère symétrique du quadrilatère 
des 4 normales. Le centre de symétrie est le milieu de la ligne 
des centres des deux coniques proposées. 
On obtiendrait des théorèmes analogues aux théorèmes pré¬ 
cédents en supposant que la conique P soit une parabole tan¬ 
gente à une axe de C, et en remarquant que les foyers de la 
courbe C jouent un rôle analogue aux points circulaires de 
l’infini. 
La conique P ne cesse pas d’être tangente aux axes si elle dé¬ 
génère en deux points, savoir : le centre de C et un point quel¬ 
conque M. Le théorème précédent devient alors un théorème de 
Joachimsthal (voir Journal de Crelle, vol. 26). 
Les 4 normales étant concourantes, les 4 lignes d menées 
par les centres des cercles passant par 3 des pieds se coupent 
au même point et l’on a un théorème de M. Laguerre (Comp¬ 
tes-rendus de VAcadémie des sciences). Trois des 4 points 
d’intersection d’un cercle quelconque avec la conique C et le 
symétrique du 4 e par rapport au centre de cette conique sont 
tels que les normales à C en ces points sont non pas concou¬ 
rantes , mais tangentes à une conique tangente aux axes. La ré¬ 
ciproque du théorème de Joachimstal n’est pas toujours vraie. 
VIII. Soient les 4 points A, B, R, T sur la conique C tels que 
les normales en ces points et les axes soient tangents à la 
