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H. AMSTEJ.N 
= /4f 0 = , iu { — /U 0 , JHl t = ,7/« 2 — , .... ,./40i [ — 2/Un 
la série de leurs différences- deuxièmes, 
4 /R=== J p u q = f~ x u t - J p ~\i o, J'[u y = w, 
f'Un = J P ~ l Un + J 
la série de leurs différences p ithuf ‘ s . Alors on sait que le terme 
général de R est donné par la formule 
‘#p = W 0 +i>| /«O f/ 2 W 0 + i?3 ^0 "T" + -/«« , 
où 
n — *) (P — - ) • •• (P — >’ + *) 
y# 1. 2. 3 ... r 
\ 
désigne le r i, '' n, ‘ cœfricient du binôme, et la série R est dite une 
série arithmétique du k i,),nr ordre , lorsque toutes les différences 
(&-H 1 ) ièlke sont zéros. 
Dans le cas où la série se compose des nombres Cu, Cb.i 
Ci. i,... on trouve immédiatement 
Ç 2.1 = u 0 = 1, M, = 2 , JHi ü == 1, JHi 0 — 0, 
de sorte que 
Cp-p-.i = Uj, = u Q + Pt Mo + p,Pu {) = 1 + 2/;, 4-ji,. 
On vérifie aisément qu’en effet on a 
= 1 + 2 + 3 4- ... (ni - 1) = — 1 =14-2 (ni — 2) t 4- (ni — 
Ce fait une fois reconnu, il est naturel de demander si peut- 
être les quantités G my > forment une série arithmétique du 
4 e ordre, les quantités Ç m .z une série arithmétique du 6 ft ordre et 
ainsi de suite. 
Si la réponse est affirmative, il doit être possible de mettre 
les nombres Ç m ,2 sous la forme 
u p = u 0 -\- p x lu 0 4- p 2 J 2 u 0 -\-p 5 z/% Q + Pi ,Pu a • 
