transformation d’une série double 
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Puisque les th sont toujours inférieures à 1, on a 
1 1 
R< 
4- 
ou 
ou enfin 
R 
(2/7+1) 5 1 (2 n + 3) 5 
R< _i_r_i_+_i_+..] 
^2/7+1 L(2 n + l) 4 - (2 n + 3) 4 ^ J 
^ 1 Lr 4 1 1 11 
< 2n + 1 L96 1 3 4 (2 n- l) 4 j 
L’expression dans le crochet se calcule facilement si 
n a une valeur déterminée. 
4) Voyons maintenant comment on peut obtenir, par 
une méthode élémentaire, la relation 
1 
th 
(2/7-1); 
(2/7 - l) 2 + /77 2 4 (2n - 1) 
777 = 1, 3, 5, • . . 
que j’ai utilisée plus haut. 
Je partirai de l’expression bien connue du cosinus en 
produit infini. 
On a 
co s x =. 
11 
4 x 2 
(2v — l) 2 /!- 
Or, on sait que l’on passe du cosinus au cosinus 
hyperbolique au moyen de la relation cos ix = ch x. 
Il viendra donc en remplaçant x par ix dans la rela¬ 
tion ci-dessus 
n 
i + 
ch x = 
d’où, en prenant le logarithme, 
CO 
4 x 2 
(2 V — l) 2 7T‘ 
log ch * = ^ log • ( 1 + 
4x 2 
l) 2 
