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H.  AMSTEIN 
IL 
Si  dans  les  équations  (4)  et  (5)  on  remplace  b2  par  —  ô2,  tout 
en  maintenant  la  condition 
a2  —  b2  =  A;2, 
les  courbes 
(8)  ( x 2  +  î/2)2  =  a2  æ2  —  ô2  y 2 
sont  encore  les  podaires  par  rapport  au  centre  des  hyperboles 
x2  y 
et  ces  dernières  touchent  les  mêmes  quatre  droites  que  les 
ellipses  (5),  à  savoir 
x  +  y  ±l  k  =  0 
x  —  y  +  le  =  0. 
Au  premier  abord,  il  ne  semble  pas  que  le  théorème  énoncé 
puisse  être  généralisé  de  sorte  qu’il  subsiste  encore  pour  les 
podaires  des  hyperboles  touchant  les  prolongements  des  quatre 
côtés  du  carré  donné.  En  effet,  l’aire  Sj  des  courbes  (8)  est 
fournie  par 
/a  .  a, 
arctg  -r  arctg— 
(a2cos2cp— ô2sin2cp)^cp=J^(a2 — ô2)cpH - - — sin2qp  J  = 
:  (a2  —  b2)  arctg - h  ab 
b 
et  cette  valeur  est  en  général  différente  de 
7r/r 
Cependant ,  si  l’on  ne  craint  pas  d’introduire  les  parties  ima¬ 
ginaires  des  courbes  (8)  et  leurs  surfaces  négatives ,  il  est  en¬ 
core  possible  de  généraliser  le  théorème  dans  le  sens  indiqué. 
nk2 
La  différence  entre  S,  et  —  provient  évidemment  du  fait  que 
l’intégration  doit  être  interrompue  dans  les  intervalles 
de 
cp  =  arctg  —  à  qp  =  7r  —  arctg  — 
b  b 
et  de 
cp  =  7r  +  arctg 
a 
T 
à  cp  =  27t  —  arctg  —  , 
b 
