94  H.  AMSTEIN 
on  trouve  la  valeur  prévue 
—  (a2  —  ¥)  arctg  —  —  ab 
o 
et  ensuite 
S  =  S,  +  S2 
=  7T 
Ainsi ,  en  interprétant  la  surface  des  podaires  (8)  de  la  ma¬ 
nière  indiquée ,  l’on  voit  que  le  théorème  relatif  à  la  constance 
des  aires  des  courbes  (4)  subsiste  encore  pour  les  courbes  (8). 
L’interprétation  adoptée  n’a  pas  une  grande  portée  pratique ,  il 
est  vrai  ;  en  revanche ,  elle  jette  une  lumière  particulière  sur  les 
intégrales  définies  dont  les  éléments,  essentiellement  positifs, 
deviennent  négatifs  dans  certains  intervalles. 
Il  peut  être  intéressant  de  remarquer  que  les  parties  imagi¬ 
naires  de  la  courbe  (8)  proviennent  de  celles  des  tangentes  à 
l’hyperbole  (9)  qui ,  tout  en  ayant  un  coefficient  angulaire  réel, 
touchent  l’hyperbole  en  un  point  dont  les  coordonnées  sont  pu¬ 
rement  imaginaires  (et  non  complexes).  En  effet,  toute  tangente 
à  l’hyperbole  (9)  est  donnée  par  l’équation 
y  =  yx  -t-  /y.2  a2  —  62, 
h  a  signifie  un  paramètre  réel  ;  son  point  de  contact  a  les  coor¬ 
données 
m*  b* 
*1  =  ,  yt  =  -7 ===== 
yy  <r  -  b-  y  P*  a'- b* 
et  le  point  correspondant  de  la  podaire  est  donné  par 
y.  Y  y2  cr  — 
1  +  a2 
y* 
Y p?  a*  — b* 
r+y 
Dans  le  cas  où  y}  <  — ces  quatre  valeurs  sont  purement 
imaginaires;  cependant,  le  point  (r2,  yt)  se  trouve  sur  la  droite 
réelle  y  =  —  —  x ,  comme  cela  doit  être. 
P 
Si  donc  on  veut  représenter  les  parties  imaginaires  des 
courbes  (8)  et  (9)  par  une  courbe  réelle,  on  peut  procéder 
