Teoria delle superficie 
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ni che passano per o r e toccano il cono circoscritto di vertice o. In altre 
parole, la classe di F„ è la classe di un suo cono circoscritto avente il ver¬ 
tice in un punto arbitrario dello spazio. 
1 punti di contatto dei piani tangenti che passano pei punti o, 6 saranno 
situati nelle prime polari d’ entrambi questi poli. Ora queste prime polari ed 
F«, essendo tre superficie d’ordini n — 1, n — 1 , n, hanno n(n — I) 2 pun¬ 
ti comuni; dunque (*): 
Una superficie d’ordine n è in generale della classe 
n(n—l) 2 . 
67. Se una retta condotta pel polo o oscula in m la superficie fondamen¬ 
tale, la stessa retta sarà tangente in m alla prima polare di o, onde anche 
la seconda polare di questo punto passa per m (**). Viceversa, è evidente 
che, se m è un punto comune ad F n ed alle polari prima e seconda di o, 
la retta om osculerà F n iu m. Dunque le rette che da o si possono condur¬ 
re ad osculare F n sono tante quanti i punti comuni ad F n ed alle polari pri¬ 
ma e seconda di o, ossia n(n — l)(n—2). Queste rette sono manifestamente 
generatrici stazionarie del cono circoscrìtto. 
Sapendosi ora che il cono circoscrìtto è dell’ ordine n(n — I), della classe 
n(n — I) 2 ed ha n(n — l)(n — 2) generatrici cuspidali, in virtù delle note for¬ 
mule di Plucker (3) possiamo‘conchiudere che il medesimo cono avrà 
^n(n — l)(n — 2)(n — 3) generatrici doppie, 
^n(n — l)(n — 2)(n 3 — n 2 -t- n — 12) piani bitangenti, e 4n(» — l)(n — 2) 
piani tangenti stazionari. Dunque: 
Per un punto qualunque o si possono condurre alla su¬ 
perficie F n n(n — l)(n — 2) rette osculatrici, 
*n(n — 1)(» —2)(n—3) rette bitangenti (tangenti in due punti distinti), 
-«(» — t)(» — 2)(n 3 — n 2 -+- n — 12) piani bitangenti (tangenti in due 
punti distinti), e 4n(n — l)(n — 2) piani tangenti stazionari (tan¬ 
genti in due punti infinitamente vicini). 
68. 1 punti parabolici formano su F n una certa curva (curva para¬ 
bolica) che sarà incontrata dalla prima polare del punto o ne’punti ove F n 
è toccata dai piani stazionari che passano per o. Dal numero di questi piani 
consegue che la curva parabolica è incontrata dalla prima polare di o in 
4n(n — 1)(n — 2) punti ; dunque: 
La curva parabolica è dell’ordine 4n(n — 2). Così, dal numero 
dei piani bitangenti che passano per o si conclude che 
de» poiane» rédproqves (G. Creile t. 4, p. 30). 
