Teoria delle superficie 
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luogo dei centri armonici, di grado n r — 1 , del sistema di n — 1 punti 
anzidetto. 
Le rette, che da o si possono condurre a toccare F n altrove, formano un 
cono dell' ordine n(n — 1) — 2 ; in fatti, un piano condotto arbitrariamente per 
o, sega F n secondo una curva (d’ordine n) alla quale si possono condurre 
da o (*) appunto n(n — 1) — 2 tangenti (oltre alla retta tangente in o). Ciò 
torna a dire che il cono circoscritto il quale è in generale deli’ordine n(n —1), 
se il vertice o cade nella superficie fondamentale, si decompone nel piano 
tangente ad F n in o (contato due volte) ed in un cono effettivo d’ ordine 
n(n — 1) — 2. Questo cono è l’inviluppo dei piani che toccano F n ne’ punti 
comuni a questa superficie ed alla prima polare di o. Ma queste due super¬ 
ficie si toccano in o ed hanno ivi le stesse rette osculatrici; dunque la curva 
d’intersezione di F n colla prima polare di o , ossia la curva di contatto fra 
F n ed il cono circoscritto di vertice o ha due rami incrociati in o, toccati 
ivi dalle due rette che nel punto stesso osculano F n • 
Ne segue che il piano tangente ad F n in o è tangente al cono cir¬ 
coscritto lungo le due reite osculatrici, come si è già trovato altrimenti (33). 
Il piano ed il cono avranno inoltre n(n — 1) — 2 — 2.2 ss (n — 3)(» ■+■ 2) 
rette comuni ; dunque fra le rette tangenti ad F n in o ve ne so¬ 
no (n-3)(» + 2) che toccano F n anche altrove. 
Se tre superficie si toccano in un punto ed hanno ivi le stesse rette oscu¬ 
latrici, quel punto equivale a sei intersezioni riunite (**), dunque la superfi¬ 
cie fondamentale e le polari prima e seconda di o avranno, oltre a questo 
ponto, n(n — l)(n—2) — 6 intersezioni comuni; vale a dire per o pas¬ 
sano (» — 3)(n 2 H- 2) rette che osculano F n altrove. 
Il cono circoscritto di vertice o, essendo dell' ordine (n-f-1) (n — 2) e 
della classe n(n — l) 2 , ed avendo (n •— 3)(n 2 -f* 2) generatrici cuspidali, avrà, 
per le forinole di PlUckbe (3), 
-(n — 3)(n — 4)(n 2 2) generatrici doppie, 
4n(n — l)(n ■— 2) piani tangenti stazionari, ed 
~n(» — 1)(» — 2)(n 3 — n 2 -4- n — 12) piani bitangenti (oltre al piano che 
tocca F n in o). Questi numeri fanno conoscere quante rette 
si possono condurre per o a toccare altrove F n in due pun¬ 
ti distinti; quanti piani stazionari e quanti piani bitan- 
genti passano per o. 
71. Se F n ha un punto (s) p *° 3, e si prende questo come polo, una tras¬ 
versale condotta arbitrariamente per 3 sega ivi la superficie in s punti riu¬ 
niti; s centri armonici di qualunque grado cadono in 3, epperò questo pun¬ 
to sarà multiplo secondo s per ciascuna polare del punto medesimo (***). Don- 
