Teoria delle superficie 
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trasversale od, vi saranno almeno due de 9 punti a,a 2 ..a„ riuniti [in d , ep- 
però (*) d farà le veci di almeno un centro armonico di grado n — 1 . Cioè 
la prima polare di un polo qualsivoglia passa pei punti 
multipli e conseguentemente anche per le linee multiple 
della superficie fondamentale. 
Segue da ciò che, se F n fosse il complesso di due o più superfìcie, la 
prima polare di un polo qualunque passerebbe per le curve lungo le quali si 
segano a due a due le superficie componenti. 
Supponiamo, come caso particolare, che F„ sia composta di un cono d’ or¬ 
dine s e di una superficie F n _ s , e che il polo sia il vertice o del cono. Al¬ 
lora ciascuna generatrice di questo, considerata come trasversale, conterrà in¬ 
finiti punti a } a 2 • • <*n> epperò anche infiniti centri armonici di qualunque grado. 
Dunque la polare (n — r) ma del punto o sarà composta (72) del cono anzi¬ 
detto e della polare (n—r) mo di o relativa ad F n — S , presa come superficie 
fondamentale. Se « = 1 -, il cono diviene un piano, ed il teorema sussiste per 
qualunque punto o di questo piano. 
74. Le polari (di uno stesso ordine n — r) di un polo fisso 
o rispetto alle superficie d’ un fascio d’ ordine n, prese co¬ 
me superficie fondamentali, formano un altro fascio, pro¬ 
iettivo al dato. In fatti una retta trasversale coudotta ad arbitrio per o 
sega le superficie fondamentali in gruppi di n punti in involuzione (41); ed i 
centri armonici (di grado r) di questi gruppi rispetto al polo o formano una 
nuova involuzione proiettiva alla prima (**). Ma i centri armonici sono le 
intersezioni della trasversale colle superficie polari ; dunque per un punto qua¬ 
lunque dello spazio non passa che una sola superficie polare, ossia le superfi¬ 
cie polari formano un fascio, ecc. 
Questo teorema può facilmente essere generalizzato. A tale uopo introdu¬ 
ciamo il concetto di sistema lineare di genere m e di grado n 
di punti sopra una retta data, chiamando con questo nome la serie 
(m volte infinita) dei gruppi di n punti che sodisfanno ad n-m condizioni 
comuni, tali che, presi ad arbitrio m punti nella retta, con essi si possa for¬ 
mare un solo gruppo della serie (42). Per m = 1 si ha 1’ involuzione di 
grado n. 
Due sistemi lineari di punti dello stesso genere (in una medesima retta o 
in due rette differenti) si diranno proiettivi quando i gruppi dell’uno cor¬ 
rispondano, ciascuno a ciascuno, ai gruppi dell’ altro in modo che ai gruppi 
del primo sistema formanti un sistema minore di genere m — m' corrisponda¬ 
no gruppi del secondo sistema formanti un sistema minore dello stesso genere 
m — m (44). 
Da questa definizione (***) segue immediatamente che i centri armo¬ 
nici di grado r dei gruppi di un dato sistema lineare di 
punti (di genere m e di grado n), rispetto ad un polo arbi- 
dare pei sistemi lineari di corre trac- 
(*) Iti 
A 
ìuperfluo dire che definizioni analoghe s 
