Teoria delle superficie 
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77. Ritorniamo alia superficie fondamentale F», e siano o, o' due punti 
qualisivogliano dati. Indichiamo con P 0ì P 0 r le prime polari di questi punti 
rispetto ad F„; con P O0 ' la prima polare di o rispetto a Pò risguardata come 
superficie fondamentale ; e similmente con P 0 ' 0 la prima polare di o' rispetto a 
P 0 . Ci proponiamo di dimostrare che P 0 Ò e P 0 ' 0 non sono che una sola e 
medesima superficie. 
Si conduca per c! un piano arbitrario E , e sia K n il cono d’ ordine n 
avente per vertice il punto o e per direttrice la curva EF n (intersezione del 
piano E colla superficie F w ). Le superficie K n , F n avranno in comune un’al¬ 
tra curva d’ordine n(n — 1) situata in una superficie F„_ 1 d’ordine n — 1. 
Siccome F n appartiene, insieme con K n e col sistema (FF„_i), ad uno stes¬ 
so fascio, così (75) la polare Pò apparterrà al fascio determinalo dal cono 
Kn-.ii prima polare di o rispetto a K n , e dal sistema (FF„_ 2 ), ove F n _ 2 
è la prima polare di o' rispetto ad F»_ j : la qual superficie F«_ 2 insieme col 
piano E costituisce la prima polare di o' rispetto alla superficie composta 
(FFn-i) (74). Siccome poi nell’ultimo fascio menzionato v’è il cono K n -\ 
di vertice o, eosì (76) la superficie P 0 Ò coinciderà colla prima polare di o ri¬ 
spetto al luogo composto (£F„_ 2 ), epperò passerà per la curva d’ordine 
n —2 intersezione di F„_ 2 col piano E (73). 
Analogamente, poiché F„ passa per la curva d’intersezione de’ luoghi K n 
ed (FF»_ t ), la superficie P 0 coinciderà colla prima polare di o rispetto ad 
{EFn-.i) 9 e PP erò passerà per la curva d’intersezione di F»_ t col piano E. 
La superficie P 0 ' 0 passerà adunque per la curva d’ordine n — 2 , prima polare 
di o' rispetto alla curva EF n —\ anzidetta; ossia Pòo passerà per l’interse¬ 
zione di F »_2 col piano E. 
Ciò torna a dire che le superficie P 0 Ò e Pòo hanno una curva comune 
d’ ordine n — 2 situata in un piano condotto arbitrariamente per o' ; dunque 
esse non sono che una sola e medesima superfìcie d’ ordine n — 2. 
Abbiansi ora nello spazio 1 punti qualisivogliano o, o', o" 9 ..oW,e si 
indichi con P 0 ÒÒ' la prima polare di o rispetto a Pòo" > con P 0 ÒÒ'ò" la prima 
polare di o rispetto a Pòò'ò", ecc. Il teorema ora dimostrato, ripetuto suc¬ 
cessivamente, mostra che la polare P Q òo ** 0 W rimane la medesima superficie, 
in qualunque ordine siano presi i poli o, 6, Se poi si suppone 
che r di questi punti coincidano in un solo o, e che gli altri y *+• t — r — r 
si riuniscano insieme in o', avremo il teorema generale (*) : 
D.ca la superficie fondamentale F„, la polare (r)« di un 
punto o rispetto alla polare (r')” 10 di un altro punto o r co¬ 
incide colla polare { r , ) ma di o' rispetto alla polare (r) w ° 
dio. 
Tali polari si diranno polari miste (**). 
78. Suppongasi che la polare (r') ma di o' rispetto alla polare (r) ma di o 
passi per un punto m, ossia (77) che la polare (r) OTO di o rispetto alla polare 
