Luigi Cremona 
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uiia qualunque delle prime polari anzidette passeranno (79) per d, o in altre 
parole, le polari seconda, terza,.. g ma di un punto qualunque dello spazio, rispetto 
ad F n9 passano per d ; donde segue che le polari (n — 2) ma , (n — 3) mo ? 
(n — g) mu del punto d, potendo passare per ogni punto dello spazio, saranno 
indeterminate; e la polare (n — s — 1) ma dello stesso punto d sarà un cono 
d’ ordine j-t- 1. Dunque (71) d è un ponto multiplo secondo il numero «-ni 
per la superficie fondamentale. 
Questo teorema si può esporre in un’ altra maniera. Supponiamo che le po¬ 
lari (i) m<? di tutti i punti dello spazio abbiano un punto comune d ; questo 
apparterrà anche alia polare ($) ma del punto stesso^ e quindi alla superficie fon¬ 
damentale. JI punto d poi avrà la sua polare (n — s) ma passante per un punto 
qualunque dello spazio, vale a dire indeterminata. Dunque la polare (n — s — i) ma 
di d sarà un cono avente il vertice in d, epperò d sarà un punto (s-+- \)v l ° 
per la superficie fondamentale. 
84. Supponiamo ora che la polare (r) ma di un punto o abbia un punto d 
multiplo secondo il numero s. Allora le polari (r-t-1) ma , (r -+- 2) ma , 
(r •+• s — ì) ma di o passeranno tutte per o', e per conseguenza (62) le polari 
(n — r) ma , (n —r — 1) w “, .. (n — r — s ■+• \) ma di d passeranno per o. 
Inoltre (79) anche la polare t ma (ove f = t, 2,. — 1) di un punto qua¬ 
lunque m rispetto alla polare r ma di o passerà s — t volte per o', donde 
segue (78) che la polare t ma di m rispetto alla polare (n—r—t) ma di o 
passa per ©. Quindi (83) il punto o è multiplo secondo il numero^ -+- 1 per 
la polare (n — r — I)*“* di d. Dando a t il suo massimo valore si ha per¬ 
tanto il teorema: 
Se la polare (r) wa di un ponto o ha un punto ($)P l0 o , vice¬ 
versa o è un punto (i)p / 0 per la polare (n — r — a-t- t) wo 
di ©'. 
85. La polare (r') roo di un punto o', presa rispetto alla polare (r} ma di un 
altro punto o, abbia un punto o" multiplo secondo il numero s, ossia la po¬ 
lare (r)™ di o rispetto alla polare (r') wa di o' abbia il punto (s)P l ° o". Allo¬ 
ra, applicando il teorema dimostrato precedentemente (84) alla polare [r') ma di 
« . riguardata come superficie fondamentale, troveremo che la polare 
in--r'-r'-i-H) ma di o" rispetto alla polare (r') ma di o' ha un punto 
(tp*° in 0 ; dunque: W F 
Se la polare (r') ma di un punto d rispetto alla polare (r) mo 
di un altro punto o ha un punto (s)^° d\ viceversa la pola¬ 
re (n —■ r — r' — $ -t- l) wo di o" rispetto alla polare lr') ma di o 
avrà un punto ( sY l ° in o. 
86. Si è veduto (69) che la quadrica polare di un punto parabolico o del¬ 
la superficie fondamentale è un cono tangente al relativo piano stazionano, e 
che la generatrice di contatto è la retta osculatrice ad F n in o . In questa 
retta sarà quindi situato il vertice d del cono. Applicando ora a questi pun- 
0> teoren[la P rece denle (84) j vediamo che^ essendo d un punto dop¬ 
pio per 1 (n — 2) CTa polare di o, la prima polare di d avrà un punto doppio 
in ©; ossia: " v 
