Teoria delle superficie 
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Se un punto o, appartenente alia superficie fondamentale, ha per quadrica 
polare un cono, esso sarà o un punto doppio o un punto parabolico per F». 
In fatti, se il cono polare ha il vertice in o, questo punto è doppio per la 
superficie fondamentale (71). Se poi il vertice è un altro punto 6 , siccome 
la quadrica polare di o deve toccare in questo punto la superficie fondamen¬ 
tale, bisogna che oo' sia l’unica retta osculatrice in o, cioè che o sia un 
punto parabolico. 
Inviluppi di piani polari e luoghi di poli. 
87. Proponiamoci di determinare I* inviluppo dei piani polari (relativi ad 
F n ) dei punti di una retta R. I piani polari passami per un punto qualunque 
i hanno (62) i loro poli nella prima polare di t, la quale segherà R in n — 1 
punti ; vale a dire, per « passano n — 1 piani, ciascuno de’ quali ha un polo 
in R. L’ inviluppo cercato è dunque una sviluppabile della classe n — 1 : le 
daremo il nome di polare (n — 1)”*° della retta R. 
Se la prima polare di « fosse tangente ad R , due degli n — 1 piani pas¬ 
santi per i coinciderebbero, e questo punto apparterrebbe alla sviluppabile. 
Dunque l’inviluppo dei piani polari dei punti di R è ad un tempo il luogo 
dei poli delle prime polari tangenti ad R . 
Se T è una retta arbitraria, le prime polari dei punti di T formano un 
fascio (80), nel quale è noto esservi 2(n — 2) superficie tangenti ad una ret¬ 
ta qualunque, p. e. ad R-, dunque T contiene 2(n — 2) punti del luogo, os¬ 
sia : la polare (n — ì) ma di R è una sviluppabile d’ ordine 
2(n - 2). 
Se m è un punto in R t le prime polari tangenti ad R in m avranno (82) 
i loro poli in una retta Af, generatrice della sviluppabile che si considera. 
Analogamente, se ni è il punto di R successivo ad m, le prime polari tan¬ 
genti ad R in ni avranno i loro poli nella retta ilf, generatrice successiva 
ad M . La prima polare che oscula R in m avrà dunque il suo polo nel punto 
comune alle rette M, M' ; ossia la curva cuspidale della sviluppabile sarà il 
luogo dei poli delle prime polari osculatrici ad R. 
In una rete di superficie d’ ordine n— 1, ve ne sono 3(n— 3) che oscu¬ 
lano una retta data (75). Ora, se le superficie della rete sono prime polari 
(relative ad F«), i loro poli sono in un piano (82) ; un piano qualunque con¬ 
tiene per conseguenza 3(n — 3) punti le cui prime polari osculano Rj ossia 
il luogo dei poli delle prime polari osculate da R è una 
curva gobba d’ ordine 3(n — 3), che è lo spigolo di regresso della 
sviluppabile sopra menzionata. 
Una sezione piana di questa sviluppabile, essendo dell’ ordine 2(n — 2), 
della classe n— 1, e dotata di 3(n — 3) cuspidi, avrà 2(n—3)(n —4) punti 
doppi; dunque: il luogo dei poli delle prime polari tangenti 
ad R in due punti distinti è una curva gobba dell ordine 
2(n •— 3) (fi — 4 
Si dimostra 
t. vn. 
