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Luigi Cremona 
'» ^, u " a sviluppabile 
“ ‘ luogo dei punti 
curva qualsivoglia data, d’ordine 
della classe m(n — 1), la quale è anc 
le coi prime polari sono tangenti alla 
88. Consideriamo ora la polare (n — 1) wo di una superficie data d' ordine 
m, ossia l’inviluppo dei piani polari dei punti di questa superficie. I piani 
passanti per una retta qualunque T hanno i loro poli (80) in una curva gob¬ 
ba d'ordine (n — I) 2 , la quale incontrerà la superficie data in m(n — l) 2 pun¬ 
ti, epperò l'inviluppo richiesto è una superficie della classe m(n — I) 2 . 
Se due degli m(n — l) 2 punti anzidetti coincidono, la retta T sarà tangen¬ 
te alla superficie di cui si tratta; epperò se a due rette T, T' passanti per 
uno stesso punto » corrispondano due curve tangenti in uno stesso punto »' 
alla superficie data, % sarà un polo del piano TT r , e questo piano sarà tan¬ 
gente in * alla superficie della classe m(n — l) 2 . Ma in tal caso la prima po¬ 
lare del punto », contenendo entrambe le due curve gobbe, è tangente in *' 
alla superficie data; dunque: 
V inviluppo dei piani polari dei punti di una superfi- 
c«e data è ad un tempo il luogo dei punti le cui prime 
polari sono tangenti alla superficie data medesima. 
La polare (n —■!)*"“ di un piano è una superficie dell’ordine 3(n —2) 2 , 
perchè in un fascio di superficie dell’ ordine n — 1 ve ne sono 3(n — 2) 2 che 
toccano un piano dato (41). 7 
89. Quale è il luogo dei poli dei piani tangenti ad una data superficie di 
classe m? Per una retta arbitraria T passano m piani tangenti alla superficie 
data, i quali hanno tutti i loro poli nella curva gobba d’ordine (n - l) 2 , prima 
polare di T (80). Questa curva ha m(n — l) 3 punti comuni col luogo cercato 
dhe'mfa—1) ' P °" * W pìanì )’ €pperò quest0 1q ° §0 è UDa sl, P erficie d ’ or ' 
Se fé una retta tangente alia superficie data, due di quegli m piani co¬ 
incidono, e per conseguenza la curva gobba, prima polare di T, avrà (n — l) 3 
punti di contatto col luogo di cui si tratta. E se due rette T, T toccano in 
uno stesso punto t la superficie data, le curve gobbe corrispondenti a queste 
rette toccheranno il luogo negli stessi (n - l) 3 punti; e siccome le due curve 
sono situate insieme nella prima polare dei punto », così gli (n — l) 3 poli 
del punto ^Dunque • pUDtÌ dì C ° nlaUo fra i! ,U0 S° e Ia P riraa P 0,are 
rfj.l lu °6° dei P® 1 ' <I«i piani tangenti ad una superficie 
fa sopeVficYe da'tY' " PP<> deU<ì pr ' me P ° lari de ’ pnnti del ' 
li rJ B r U ha C0,l ’ in,ilu PP° (n-0 3 punti di contatto, i qoa- 
lùppa”a P ° 1 de p,a “° laDgeDle aIla s “P«ffi«ie data nel polo dell’ invi¬ 
mi^ P i» a l° la I e de ] pn " t0 i segherà *' luo 8° secondo una corra d’ ordine 
Tono Jnk “r, , eTldent f men,e a }«»&> dei poli dei piani che per i si pos- 
rertice • cir « 3 sn P e ]j* c,e data, ossia dei piani tangenti al cono di 
rertice ,, crcoscntto alia soperficie data. 
viliiDDO * fatimi* ì 0rd,n ® ^ w ( n ! )> fi ni considerata come luogo e come in- 
v 1 |upp° da„n,o ,| nome d. prima polare della snperficie data. 
superficie data sta ora svduppabile e della classe m; e cerchiamo 
