Teori\ delle superficie 
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anche per essa il luogo dei poli dei suoi piani tangenti. Per un punto qua¬ 
lunque o si possono condurre m piani tangenti alla sviluppabile data; questi 
piani hanno i loro m(n — l) 3 poli nella prima polare di o e sono altrettanti 
punti del luogo. Il luogo richiesto è adunque una curva gobba dell’ ordine 
m(n — I) 2 . Se il punto o è nella sviluppabile, due degli m piani tangenti co¬ 
incidono, epperò la prima polare di o toccherà il luogo in (n — l) 3 punti. Il 
luogo è per conseguenza anche l’inviluppo delle prime polari dei punti della 
superficie data, in questo senso che la curva trovata è toccala in (n — l) 5 
punti dalla prima polare di un punto qualunque della sviluppabile data. La 
medesima curva sarà osculata io (n — I) 3 punti dalla prima polare di un pun¬ 
to qualunque dello spigolo di regresso della sviluppabile, e sarà toccata in 
2(n— l) 3 punti dalla prima polare di un punto qualunque della linea nodale 
della sviluppabile medesima. 
Fasci proiettivi di superficie. 
91. Dati due fasci proiettivi, l’uno di superficie d’ordine , l’altro di 
superficie d'ordine n 2 , quale sarà il luogo della curva d'ordine njn 2 , inter¬ 
sezione di due superficie corrispondenti? Se # è un punto qualunque di una 
retta T, per x passa una superficie del primo fascio; la corrispondente su¬ 
perficie del secondo fascio segherà T in n 2 punti x'. Viceversa, per un punto 
x' passa una superficie del secondo fascio, e la corrispondente superficie del 
primo fascio incontrerà T in punti x. Abbiamo dunque io T due serie di 
punti x , x' che hanno la corrispondenza (» t , n 2 ) ; il numero de’ punti uniti 
sarà ni H-n 2 ; cioè il luogo cercato è una superficie d’ordine 
Ovvero: un piano qualunque sega le superficie date secondo curve forman¬ 
ti due fasci proiettivi; ora il luogo dei punti comuni alle curve corrispon¬ 
denti è (*) una linea d'ordine -t-n 2 ; dunque il luogo domandato è taglia¬ 
to da un piano arbitrario secondo una curva d’ ordine n t -t- n 2 . 
Questa superficie passa per le curve d' ordini n t 2 ? n 2 2 , basi de’ due fasci, 
perchè ciascun punto di una di queste curve è situato in tutte le superficie 
di un fascio ed in una superficie dell' altro. 
Se o è un punto della curva (n t 2 ), 5 2 la superficie del secondo fascio che 
passa per o. Si la corrispondente superficie del primo fascio, e P il piano 
che tocca S 4 in o; il piano P sega S 4 secondo una curva che ha un punto 
doppio in o, ed S% secondo una curva che passa per o ; dunque (**) o sarà 
un punto doppio anche per la curva (fit-4-n^, intersezione della superficie 
(i n { -+• n 2 ) col piano P. Vale a dire, questa superficie è toccata in o dal piano P. 
(6. di Creile 
E). 202. — 
