Teoeia delle superficie 
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superficie S n d’ ordine n. Allora il teorema precedente può essere pi-esentato 
nella maniera seguente. 
Siano date le superficie S», Sn, S»", la prima delle qnali passi per la 
curva d’ ordine ri ri' comune alle altre due} e sia n > ri , n <n' ■+■ n" ed 
ri ^ ri'. La superficie S n ' segherà S n secondo un’ altra curva d’ ordine 
n'(n — ri'), situata in una superficie S»_ n "? unica e determinata perchè 
n — ri' < ri. Parimente S n " e 5» avranno in comune un’ altra curva d’ or¬ 
dine n ,r (n — ri), giacente in una superficie S n - » individuata perchè n — ri 
< »"• Allora Sn — n ed S n -»" si segheranno lungo una curva situata in S«, 
in virtù del teorema generale (92). Per tal modo, date S n , Sn ed S n ", le 
superficie S n —n sono uniche e determinale, ed S n appartiene ad uno 
stesso fascio insieme colle superficie composte S n ' -+• S n -n, S n " -+- S n -n - 
Dunque, se sono date soltanto S n f , siccome S n n, S n -n possono so¬ 
disfare ad N(n — »') -+* iV(n —* ri') condizioni, e siccome nel fissare una super¬ 
ficie di un fascio si può sodisfare ad una nuova condizione, così S n potrà so¬ 
disfare ad iV(n — ri) -+- iV(n — n") -+• 1 condizioni. Ossia : se S n dee pas¬ 
sare per la curva Sn Sn', ciò equivale a dovere passare 
per Uf(n) — N(n — ri) — N[n — n") — I pu n ti d a t i ad arbi trio ; os¬ 
sia: ogni superficie d' ordine n che passi per JV(n) — N{n - ri) 
— N(n — ri') — 1 punti arbitrari della curva comune a due 
superficie d’ordine ri, ri' (ove sia n < ri •+■ n") la contiene 
per intero. 
Una superficie d’ordine n che passi per N(n) — N(n — »') — N(n — ri') — 2 
punti arbitrari della curva (n' ri') la segherà in altri nriri' — Jf(ri) -h N(n — ri) 
■+■ N[n — ri') H- 2 punti, i quali non potendo essere arbitrari senza che la su¬ 
perficie contenga per intero la curva, saranno determinati dai primi. Dunque 
tutte le superficie d’ordine » che passano pei primi punti passano anche per 
gli altri; ossia le nriri' intersezioni di tre superficie d'ordi¬ 
ni n, ri, ri’ sono individuate da N(n) - N(n - ri) - N(n - ri') - 2 
fra esse: supposto che il più grande dei numeri n, ri, ri 
sia minore della somma degli altri due. 
94. Sia ancora la superficie composta generata per mezzo di 
due fasci proiettivi, nei quali alle superficie 5«, S n " *+* S n ' - n" del primo cor¬ 
rispondano le superficie S n -n’, S»_»' -4- S n f - »" del secondo; ma ora sia 
n > ri -h ri', ri > ri'. 
Siano date le superficie S n , SnSn'- La superficie Sn segherà S n secondo 
una curva d’ ordine n'(n — n"), per la quale e per JV(n — ri — ri') -¥■ 1 pun¬ 
ti addizionali, che prenderemo in S n > passa una superficie S n -.n" 'à* ordioc 
n — n" (92). Così S»" segherà S n secondo una curva d’ordine ri'(n — ri ) , 
per la quale e pei punti addizionali suddetti passerà una superficie S n ~ri 
d’ordine n — ri. E le due superficie S n -n, Sn-«" s’intersecheranno sulla 
S n , la quale per conseguenza appartiene insieme colle S# +Sn-n > 
Sn' ■+• Sn — n ad uno stesso fascio. Se oltre alla curva Sn Sn', anche i pun¬ 
ti addizionali sono dati nello spazio, senza che sia data Sn, la superficie 
